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El hecho de que tengamos una cantidad infinita de números naturales nos da acceso a todo tipo de otras cosas infinitas abstractas también, en ambas direcciones, grandes y pequeños. Estudiaremos cómo podemos comenzar con el conjunto infinito de números naturales y producir conjuntos infinitos de rectángulos y sus áreas. Una manera de hacer cálculos precisos es considerar cosas que son infinitamente pequeñas. Esta es la base del cálculo, el campo de las matemáticas que es uno de los más omnipresentes en sus aplicaciones modernas. El cálculo es el estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales de cosas que están cambiando. Es difícil hacer teorías sobre cosas que siempre están cambiando, y el cálculo lo logra mirando porciones infinitamente pequeñas, y pegando infinitamente muchas de estas porciones infinitas. Estas cosas infinitamente pequeñas están en todas partes a nuestro alrededor, formando infinitos conjuntos de cosas que realmente experimentamos todos los días sin necesidad de ser conscientes de ello.

Una de las características extrañas de las matemáticas es que están ahí si lo vemos o lo entendemos, al igual que cuando estamos en un automóvil hay un paisaje, está allí si miramos por la ventana o sabemos qué es lo que está pasando. Comprender las matemáticas que hay puede permitir a las personas construir mejores sistemas y resolver problemas más complicados. Pero también puede arrojar luz sobre cómo funciona nuestras propias mentes. La iluminación es un resultado más sutil y menos dramático que resolver un problema específico o construir una tecnología específica, pero para nosotros es muy fundamental y de gran alcance en su silenciosa importancia que está formada de pequeñas partículas sin masa.

El infinito existe, pero ¿podemos llegar alguna vez allí? ¿Podemos hacer infinitamente muchas cosas, tal vez si son infinitamente pequeñas? Antes de que realmente veamos cómo podemos entender esto, veamos a pensar en cosas que parecen llegar a ser tan grandes que casi pueden ser infinitas, y a veces parecen que estamos haciendo algo casi infinitamente. Hay un viejo enigma sobre el arroz en un tablero de ajedrez. La historia es que un hombre pide grano de arroz en el primer cuadro de un tablero de ajedrez, el doble que un la segunda plaza, el doble que la tercera plaza, y así sucesivamente para cada cuadrado hasta que el tablero de ajedrez está lleno. La pregunta es: ¿Cuántos arroces acabará recibiendo? La respuesta corta es: muchos. ¿Cuántos son exactamente?

No es una pregunta difícil en principio, porque solo tienes que seguir multiplicando por 2 y agregando todas las respuestas juntas hasta que has hecho los 64 plazas (cuadros). Sin embargo, si intenta esto, descubrirá que los números se vuelven grandes muy rápidos, muchos más grandes que su calculadora o incluso para su computadora pueden tener dificultad para manejarlos de forma normal. Hay un truco para acelerar el cálculo, pero usted todavía termina teniendo que lidiar con un número muy, muy grande: 18,446,744,073,709,551,615 granos de arroz.

En la matemáticas pensamos las infinitas maneras de combinar escuchar la musical que tenemos almacenada en nuestros dispositivos digitales, la rapidez con la que crecen las cosas, viajar dentro de una infinita cantidad de historias posibles, pintar calcular el radio de una esfera de n dimensiones. Podemos pensar que las cosas a nuestra escala vista de muy alto, son muy pequeñas, incluso infinitesimales. Esto da una manera de ver lo infinito. A veces los avances matemáticos ocurren con solo mirar algo de una manera ligeramente diferente, lo que no significa construir algo nuevo o ir aun lugar diferente, solo significa cambiar su perspectiva y abrir enormes posibilidades como resultado. Esta visión en particular conduce al cálculo y por lo tanto a la comprensión de cualquier cosa curva, cualquier cosa en movimiento, cualquier cosa fluida o cambiando continuamente de estado.

Pocas cosas en nuestro mundo no encajan con estas descripciones. La electricidad, las señales de comunicaciones de telefonía celular, las ondas sonoras, de gravedad, el espectro electromagnético, movimiento molecular browniano Ratchet responsable de la vida…, esto definitivamente implica al cálculo.

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