La Integral
Técnica y Método
1.4 Integración inmediata
Leibniz introdujo la convención de escribir la diferencial de una función después de la integral, la ventaja de utilizar el diferencial de esta manera será evidente para el lector más tarde, cuando calculamos primitivas por el método de sustitución que se estudiará más adelante. Debido a ciertas dificultades prácticas, no es posible formular un conjunto de reglas por las cuales cualquier función puede ser integrado. Sin embargo, ciertos métodos se han ideado para integra ciertos
tipos de funciones.
- El conocimiento de estos métodos,
- Buena comprensión de fórmulas de derivación, y
- La práctica necesaria, debería ayudar a los estudiantes integrar la mayoría de lo que ocurren
- comúnmente para las funciones.
Los métodos de integración, en general, consisten en ciertas operaciones matemáticas aplicada a el
integrando de manera que asume una cierta forma (s) conocido de que las integrales son
conocidos. Siempre que es posible expresar el integrando en cualquiera de las formas conocidas
(que llamamos formas estándar), la solución final se convierte en una cuestión de reconocimiento e
inspección.
Partiendo del carácter inverso de la integración respecto a la derivación, contamos con una serie
básica de fórmulas, que permiten obtener la integral de diferentes funciones[1].
Tabla 1.2. Fórmulas de integración |
1. 
donde 
es una constante
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
A continuación se muestran algunos ejemplos, donde se aplican estas fórmulas.
Hacemos dos comentarios acerca de la fórmula mencionada en la Tabla 1.2
Se pretende incluir el caso cuando n=0, es decir,
Puesto que no se especifica ningún intervalo, la conclusión se entiende que es válida para cualquier
intervalo en el que se define 
. En particular, si n<0, hay que excluir cualquier intervalo que contenga
el origen.
En vista de lo anterior, la derivada de también 
debe ser considerada sólo para los valores
positivos de x. Además, cuando escribimos 
, hay que recordar que en esta igualdad
la función 1/x se ha de considerar solamente para los valores positivos de x.
Hay algunos teoremas de diferenciación que tienen sus homólogos en la integración,
son los teoremas que establecen las propiedades de "integrales indefinidas" y se puede
probar fácilmente usando la definición de primitiva. Casi cada teorema se demostró con
la ayuda de la diferenciación, subrayando así el concepto de diferenciación. Para integrar
una función dada, necesitaremos estos teoremas de integración, además de las fórmulas.
En palabras, "una integral de la suma de dos funciones, es igual a la suma de las integrales
de estas dos funciones ". La regla anterior se puede extender a la suma de un número
finito de funciones. El resultado también es válido, si la suma es reemplazada por la diferencia.
Por lo tanto la integración se puede extender a la suma o diferencia de un número finito de funciones.
donde c es un número real.
1. 
Aplicando (5)
2. 
Aplicando (5)
3. 
Aplicando (5)
4. 
Aplicando (5)
5. 
Expresar el radical en forma de exponente fraccionario y aplicar (5)
6. 
Aplicando (2) y (5)
7. 
Como el exponte es -1, aplicar (6)
8. 
Aplicando (2) y (5) y expresar el radical como exponente fraccionario
9. 
Expresar la variable como numerador y aplicar (2) y (5)
A partir de los siguientes ejercicios, la constante de integración se indicará hasta el resultado final.
10. 
Primeramente aplicar (3)
Después se procede a aplicar (2), (5) y en la última integral (4)
Obteniendo el resultado:
11. 
Por lo tanto:
Es importante hacer la observación que al utilizar las fórmulas descritas anteriormente, se
debe tener completa la diferencial de la variable.
[1] Granville W.A (1982). Cálculo diferencial e integral. México: Limusa.
Autores:
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán