Texto académico

Autores

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Gladys Juárez Cisneros
Filho Enrique Borjas García
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán

3. ¿Qué es un problema matemático?

Es necesario dar respuesta a esta pregunta si aspiramos a promover el pensamiento matemático en nuestro espacio educativo. Muchas personas ni siquiera quieren acercarse a este tipo de problemas, prefieren verles como paquetes de ejercicios en la transcripción en un pizarrón, en lugar de comprender a los mismos. Ven a las matemáticas como cálculos sin rumbo.

Para responder a la pregunta de este apartado, lo ilustraremos desde la geometría. La tradición preservada en la forma de introducir a los noveles en los problemas matemáticos, en especial a los más jóvenes, es a través de la geometría.

Comenzamos con el conocimiento de las líneas paralelas, las utilizamos para probar que los ángulos internos de un triángulo siempre suman 180º en el espacio euclidiano. Lo podemos observar en la siguiente figura, los ángulos de la base de este triángulo isósceles son iguales y es bastante obvio. En este triángulo dos lados son iguales y el otro desigual. 

Lo podemos ver así:

Para el caso de demostrar que el ángulo descrito en un triángulo dentro de un círculo de radio r, a partir del conocimiento anterior de las paralelas podemos deducir que:

Reflexionar esto nos lleva una media hora, en la que podemos demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180º. Una de las principales funciones sociales de las matemáticas, sin duda, es que nos ayuden a comprender cómo funciona el mundo, y en particular, para llegar a comprender dónde la intuición física, química o biológica  no puede alcanzar empleando lenguaje natural (inglés, español…) la verdad sobre la realidad de estos espacios de conocimiento matemático, solo se revela como dijo Epicuro, viviendo desde dentro a las matemáticas.

¿Reales o imaginarios? A Euler debemos una de las más famosas proposiciones entre los matemáticos, es una conexión entre pi, e=2.71829818 (base de los logaritmos naturales) e i, donde este último es un número imaginario, es decir, la raíz cuadrada de menos uno. Pero no todos los problemas matemáticos están confinados dentro de las propias matemáticas, algunos otros  intentan resolver, por ejemplo, hacer confiables los sistemas de comunicación digitales que hoy son tan cotidianos en las redes electrónicas de la Internet y tecnologías móviles con capacidades de procesamiento asombrosas de datos. Los problemas de aplicación matemática son la otra dimensión para comprender ¿Qué es un problema matemático?

Las comunicaciones y sus matemáticas

En estos tiempos casi todos somos usuarios de los mensajes de correo electrónico, SMS y otros como los sistemas Chats. Sin embargo, resulta complejo en lo profundo comprender ¿qué son estos mensajes de datos que se almacenan en los recovecos de la iCloud, bases de datos y ordenadores de usuarios. La velocidad y claridad de la información es lo que hace posible su éxito. Los datos de estos mensajes son trasmitidos por ondas electromagnéticas, pulsos de láser y señales eléctricas digitales, almacenadas en forma de polarización de campos eléctricos, regiones imantadas y muy pronto en forma de ADN. Sin embargo, cualquier medio de almacenamiento y transmisión de datos está expuesto a ruido, es decir, a señales que distorsionan los mensajes. Estas perturbaciones resultan imposibles de evitar en su totalidad, sin embargo, un tratamiento matemático reversible es posible, es decir, se puede emplear la autocorrección o redundancia de códigos para tal efecto.

Resulta que hay una teoría matemática subyacente detrás de todas estas transferencias de información de datos en la Internet y dentro de nuestros propios sistemas móviles de cómputo. Se conoce como mecánica de códigos dentro de la Teoría de la Información. El emisor o fuente de la información, un receptor o destino de los datos, el medio de transmisión, son ejemplos de un sistema punto a punto de comunicación, por ejemplo, trasmitir entre dos teléfonos inteligentes SMS’s. 

En este modelo, el emisor crea un mensaje en lenguaje natural, es entonces que pasa a un descodificador, que luego lo codifica representándolo como una estructura matemática de símbolos. Ya en el emisor, el receptor descodifica la estructura matemática y verifica la integridad del mensaje y lo intenta autocorregir  si detecta que fue corrompido. El primer éxito de este proceso se realizó en 1960 por la NASA con Imag3 de blanco y negro procedentes de los exploradores Vikingos que fueron enviados a lo profundo del sistema solar. 

Los matemáticos encontraron a este problema matemático de aplicación dos soluciones, emplear redundancia, información añadida al mensaje que permite para cada paquete de datos verificar su integridad y, en caso de ser corrompido pedir de nuevo el reenvío de dicho paquete de datos. Para el caso donde la redundancia no es viable, se hace pasar la estructura del mensaje por matrices matemáticas de codificación y descodificación de autocorrección, este texto, escapa a la complejidad de la matemática elemental, pero esto nos sirve para darnos una idea de que en el terreno tecnológico las matemáticas son un recurso que hace posible la viabilidad, por ejemplo de la Internet. 

En 1948 el matemático Claude Elwood Shannon publicó dos documentos, que en conjunto son la teoría matemática de las comunicaciones, para un sistema que describe y analiza la transferencia de información. Shannon demostró que hay límites fundamentales para las tasas de transmisión de datos (hoy referidas a anchos de banda) y el grado de comprensión de esta información. En este concepto, se hace referencia a conceptos de información, entropía  e incertidumbre como los implicados en el modelo, en otras palabras, las relaciones entre lo conocido (información), lo posible de ser conocido (información en potencia: entropía) e incertidumbre (lo imprevisto, no controlable o incierto).

En síntesis, los problemas matemáticos puros están orientados a la demostración interna de la base axiomática de las matemáticas, mientras los problemas matemáticos de aplicación están orientados a logros de corte tecnológico y científico. Hasta aquí, en resumen estudiamos un breve paso en la la idea de problema matemático. 

Un axioma es una declaración que los matemáticos aceptan tratar como verdadero; los axiomas forman parte de una base a partir de la cual desarrollamos una teoría. En análisis, los axiomas se utilizan para capturar nociones intuitivas sobre números, series, funciones…, por lo que su experiencia lo llevará a reconocerlos como verdaderos. Por ejemplo:

Donde:

Para todo (), a, b que pertenece a los números reales (),  son conmutativos bajo la suma.

Existe un () cero, que pertenece a los números reales (), tal que (/), para todo número a contenido en los reales (), cero es el elemento neutro bajo la suma.

Estas proposiciones son parte de los axiomas de los números reales. 

Una definición, es una declaración precisa del significado de una palabra o símbolo en matemáticas. Analizar las estructuras matemáticas nos implica definir nuevos conceptos y aplicar otros ya familiares. Muchos de los conceptos definidos no coinciden con las ideas intuitivas, son parte de una teoría formal que los explica. Un ejemplo de una definición es:

Una función está limitada sobre X si y solo si .

Donde:

Una función f desde el conjunto X en los reales está limitada sobre X si y solo si existe M en los reales, de tal manera que todo x en X, es menor o igual que M.

Definiciones como estas aparecen regularmente en el pensamiento matemático de análisis. Tienen una estructura predecible y hay dos cosas que notar. La primera, cada definición refiere a un único concepto. En segundo lugar, dice que el término se aplica si y solo si algo es cierto.