Texto universitario
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1. La biología y la habilidad matemática
Está bien establecido que la memoria de trabajo humana es compleja desde el punto de vista del comportamiento, comprende sistemas disociables para mantener temporalmente diferentes tipos de información en mente[1] y mecanismos para atender y transformar selectivamente esa información[2]. Un objetivo principal de la investigación de fMRI es mapear estos aspectos distintos de memoria de trabajo en el cerebro. Inicialmente, se aplicó un marco localista, que buscaba comprenderla en términos de circuitos cerebrales discretos, donde a cada componente neuroanatómico se le asignaba una función específica[3]. Las etapas de la memoria de trabajo son: la codificación[4], el mantenimiento[5] y la manipulación mental[6] de los dominios incluidos los espaciales[7], los objetos abstractos o los numéricos[8]. Para los dominios, se atribuyeron regiones dedicadas del cerebro y procesamiento de flujos de interpretación. Es en la memoria de trabajo donde objetos matemáticos son decodificados, se realizan operaciones y se manipula su carácter lógico, pero sobre todo los axiomas actúan en su razonamiento.
Las matemáticas son el lenguaje fundamental en la sociedad moderna, ya que desempeñan un papel importante en el potencial racional de las personas, incluidas las dedicadas a la ciencia, la ingeniería, el arte, la educación y la economía. También se utilizan como un índice clave de la inteligencia humana lograda en la educación y es esta capacidad matemática un rasgo cognitivo complejo con heredabilidad poligénica, así lo determinó un estudio conocido como Asociación de Genoma Completo (GWAS[9]). Esta excepcional capacidad matemática se observa presente en el desarrollo racional, con mayor énfasis entre las personas de dominios creativos. Los biólogos la estudian con la finalidad de adecuar la educación y conocer los límites de la razón. Mientras tanto la enfermedad de discalculia, caracterizada por habilidades deterioradas en el procesamiento de números, es un trastorno específico del desarrollo de la capacidad matemática que afecta aproximadamente del 3 al 6% de los niños del mundo[10], es estudiada con la finalidad de comprender la base axiomática heredable a nuestra especie.
Las complejidades genéticas que subyacen a la capacidad matemática pueden contribuir a explicar la base de la cognición y la inteligencia humana a nivel biológico. Hasta hace muy poco, la capacidad matemática solo fue asociada con el estado socioeconómico de los adultos y la calidad de vida de los niños[11]. Comprender la capacidad matemática es un paso esencial para mejorar las habilidades aritméticas y los logros académicos, además podría proporcionar nuevos conocimientos sobre las funciones del cerebro humano. La capacidad matemática es un rasgo complejo que implica el desarrollo neurológico y cognitivo, así como la educación y el entrenamiento postnatal. En particular, se estima que una proporción considerable de variación en la capacidad matemática podría explicarse por factores genéticos. En un humano recién nacido, podemos observar que viene equipado con una base axiomática, reconocible en sus capacidades matemáticas innatas:
1) Mónada. Es capaz de reconocer la unidad mediante un acumulador cerebral del registro del tiempo, se cree que al reconocer la unidad en la realidad y percibir el paso del tiempo, puede desarrollar la capacidad de contar, que será fundamental para un desarrollo de la noción de número, la aritmética, las álgebras y los sistemas numéricos[12].
2) Espacio. Una clara evidencia es que reconocen en el espacio la profundidad, la altura y lo ancho; se presenta cuando con las manos llaman a mamá percibiéndola en una ubicación espacial concreta a distancia. Esta verdad sobre el espacio le permitirá desarrollar su noción de dimensión geométrica y cálculos espaciales[13].
3) Categoría. El bebe humano puede categorizar entre mamá y papá; ello sugiere que la habilidad de categorización está presente desde el nacimiento, de ella dependerá que pueda desarrollar la noción de conjunto, función, ecuación[14].
4) Probabilidad. Si le preguntamos a mamá, ella podría decirnos esta verdad, que los bebés juegan a manipular la voluntad y exigir la presencia de ella a su disposición, es decir, ensayan la probabilidad tomando decisiones por datos de correlación[15].
5) Lógica. Aquí los bebés humanos, muestran que hay una razón a priori, se espera que la cognición humana incluya una lógica mental. La cognición humana registra información proposicional en una memoria declarativa. Es decir, los operadores discursivos como y, o, negación, afirmación… están presentes de manera innata en los humanos. De ellos, se genera la lógica que da el potencial racional humano[16].
En seguida exponemos un hallazgo contundente, emplearemos rigor en los términos científicos, pero creemos que usted es capaz de deducir lo que los resultados prueban, que nacemos con una base axiomática para nuestra capacidad lingüística. El primer GWAS de capacidad matemática se realizó entre niños con capacidad matemática alta y baja respectivamente, en una gran muestra de individuos que abarcó toda la distribución de la capacidad matemática[17]. Estos estudios mostraron señales de asociaciones con la capacidad matemática, pero ninguno de ellos alcanzó un nivel significativo para cada capacidad axiomática humana particular. En un estudio en el 2017, por primera vez se tuvo evidencia de la asociación de un solo polimorfismo de un solo nucleótido (SNP) con la capacidad matemática a nivel genómico en poblaciones generales. Un SNP es la identificación de numerosos polimorfismos de un solo nucleótido. SNP, un gen candidato para una pregunta relevante, que podría proporcionar un conocimiento exacto o parcial de los factores que intervienen en este caso, en el grado de desarrollo de la capacidad matemática en los humanos.
Cuando se han identificado numerosos polimorfismos de un solo nucleótido en un gen candidato, una pregunta relevante y aún sin respuesta es determinar cuántos y cuáles de estos SNP deben probarse de forma óptima para detectar una asociación con la enfermedad o con la habilidad. Probarlos todos es costoso y a menudo innecesario. Los alelos en diferentes SNP pueden estar asociados en la población debido a la existencia de un desequilibrio de ligamiento, de modo que, conocer los alelos transportados en un SNP podría proporcionar un conocimiento exacto o parcial de los alelos transportados en un segundo SNP. Los científicos crearon un método para seleccionar el subconjunto más apropiado de SNP’s en un gen candidato basado en el desequilibrio de enlace por pares entre los diferentes genes[18].
Las técnicas de imagen cerebral han permitido explorar los fundamentos neuronales de la cognición lógica y matemática. Estas técnicas están revelando más que simplemente dónde tienen lugar estos procesos de alto orden en la corteza humana. Las imágenes están comenzando a responder algunas de las preguntas más antiguas sobre lo que son la lógica y las matemáticas, y cómo surgen y evolucionan a través de la cognición de visión espacial, el lenguaje, las funciones ejecutivas y la emoción[19]. FOXP2 es el gen con mayor participación en la capacidad cognitiva humana.
La presencia de un sistema neuronal compartido para el procesamiento sintáctico en lenguaje natural y la aritmética es controvertida[20]. Los estudios de comportamiento recientes informan sobre la presencia estructural del dominio cruzado entre lenguaje natural y la aritmética. Usando imágenes de resonancia magnética funcional (fMRI), los resultados apoyan firmemente la idea de que la aritmética y el lenguaje natural comparten las bases neuronales para procesar estructuras sintácticas[21]. En otras palabras, conocer el álgebra aritmética nos ayudará a pensar y crear sentencias empleando estructuras sintácticas en un lenguaje natural (español), haciendo más riguroso nuestro pensamiento[22]. La ciencia sugiere que el acumulador del paso del tiempo en nuestro cerebro, está implicado en la asociación espacio-aritmético, reside en la operación aritmética mental y, no en los números individuales o los operadores[23]. Una forma sorprendente en la que los humanos se diferencian de los primates, es su capacidad para representar cantidades numéricas usando símbolos abstractos y el uso de estas herramientas mentales para desarrollar habilidades, tales como realizar cálculos exactos. ¿Cómo emergen los circuitos cerebrales funcionales para la representación simbólica de la magnitud numérica? ¿Las representaciones neuronales de la magnitud numérica cambian en función del desarrollo y el aprendizaje de la aritmética mental? Las teorías actuales sugieren que los símbolos numéricos culturales adquieren su significado al ser asignados a representaciones no simbólicas de magnitud numérica[24].
Además, hallazgos científicos demuestran que las estrategias de conteo y el uso representativo de los números se encuentran dentro del dominio cognitivo del chimpancé, y son comparables favorablemente con el uso espontáneo de algoritmos de adición demostrados en niños preescolares[25]. Hay cada vez más pruebas de que los animales comparten con los humanos adultos y quizás con los bebés humanos, un sistema para representar el número como magnitud que es un análogo de las cantidades que representan[26]. Los bebés humanos evidencian categorizar, esta competencia les da el poder de hacer discriminaciones simples entre conjuntos de hasta cuatro entidades. Los niños y adultos muestran el mismo procesamiento en su capacidad casi sin esfuerzo para categorizar, o aprender rápidamente la cantidad asociada con un número, en colecciones de objetos[27]. Es decir, categorías de objetos son asociados con números de elementos de estos conjuntos de cosas. Se cree que nuestro cerebro reconoce a la variable “x” como una categoría distinta que “y”, donde cada conjunto puede ser conformado por distintos números arbitrarios. Sumar x + y es reconocido como un razonamiento numérico y no literal. La investigación sobre la percepción del espacio, el tiempo y la cantidad ha generado tres ideas que permanezcan separadas, pero los investigadores creen en la existencia de un sistema de magnitud generalizado como marco conceptual dentro del cual se procesan los elementos del entorno, espacio, tiempo y cantidad[28]. Finalmente, multiplicar y categorizar son por otro lado circuitos distintos que deben ser entrenados[29].
El pensamiento matemático y sus escuelas
Las posibilidades de conocer la realidad, nos dice Kant pasan por contestar ¿cómo es posible el conocimiento?
El realismo ontológico. La conciencia asume que hay algo que existe fuera de la mente (a posteriori) y que la verdad es alcanzable por un consenso social que discute y delibera sobre contradicciones en el pensamiento. Los objetos matemáticos están en las cosas, todo en la realidad son números ¿cómo es que están allí?
Los platónicos ontológicos. Hay una realidad independiente de la mente; los objetos matemáticos son abstracciones creadas en la mente y empleados como lenguaje artificial para racionalizar lo real.
Los ficcionistas. Los objetos matemáticos solo existen en cuanto a verdad lógica, todo lo que hay en ellos es vacuidad (carente de contenido fáctico, son ficciones).
Putnam. Las matemáticas tienen verdad objetiva y no vacía, es decir, no viene del mundo externo. El conocimiento matemático estaría ligado a la experiencia y al hardware de nuestra mente.
Los intuicionistas. Los objetos matemáticos son construcciones mentales a partir de juicios sintéticos a priori: axiomas. No es necesaria ninguna entrada empírica para ello.
Los estructuralistas. Esta visión comparte la ontología realista de que la estructura de la realidad material contiene abstracciones que le dan la propiedad de lo que es, las estructuras de información de la realidad (ecuaciones fundamentales), es decir, sus ecuaciones que la definen son el diseño de este universo, proporcionan la estructura ontológica para su conocimiento y hacen posible desarrollar todo lo sintético: átomos, anticuerpos, textiles, música, lenguajes informáticos, drogas, materiales, videojuegos…, En nuestra realidad material, el Big Bang energético es acompañado por Big Bang de estructuras matemáticas, que dotan de orden a la energía que podemos observar en nuestra realidad estructurada por ecuaciones fundamentales. El estructuralismo, es la forma más aceptada para referirnos al pensamiento matemático.
La pedagogía en las matemáticas
De acuerdo con la investigación científica en el marco del campo de la educación matemática, en particular desde el punto de vista de la experiencia, la educación matemática es proceptual-simbólico, o es formal-axiomática, estas despliegan un énfasis en el desarrollo cognitivo basado en marcos de imágenes conceptuales y esquemas formalmente definidos. El concepto intuitivo, es el que contiene la imagen mental del objeto matemático, propiedades asociadas, procesos y elementos estructurales[30]. En concreto, la idea destacable en este paradigma, es la de una imagen conceptual contenida en todo símbolo de notación matemática, el aprendiz registra mentalmente los significativos estructurales en una forma de desafío auto reconstruible. Este modelo asume la abstracción reflexiva aportada por Piaget[31], la cual consiste en dos dimensiones: proceptual-simbólico y formal-axiomático.
El pensamiento matemático aplica a los conceptos percibidos por los sentidos, debeido a que construimos concepciones mentales mediante el uso de las percepciones físicas. En el mundo proceptual, las acciones sobre las concepciones mentales se encapsulan mediante el uso de símbolos. En este sentido, el término Proceptual destaca la existencia de un análisis de razones entre el proceso y el concepto evocado por el mismo símbolo, tanto se presenta en un proceso, como en el concepto producido por este proceso. La transición al mundo formal, requiere primero a los proceptuales, antes que a las definiciones a través del pensamiento formal o pensamiento natural[32]. Este modelo pedagógico proceptual-simbólico, combinado con la pedagogía avatar (discurso narrativo de una experiencia de aprendizaje), es más flexible ya que no hace hincapié en la importancia particular del orden en los aprendizajes, sino en el orden mental del proceso de pensamiento presentado como un flujo discursivo narrativo.
En el marco educativo se utiliza la narrativa para formular el crecimiento de las ideas, por ejemplo, en el cálculo infinitesimal se prestan las ideas desde el proceso finito de cambio de la aritmética al álgebra dentro del concepto de límite potencialmente infinito. Este cambio en los experimentos mentales del cálculo simbólico es determinante para las definiciones y pruebas de soluciones de cálculo que los aprendices serán capaces de realizar.
La verdad matemática vs la científica
Es una verdad matemática la dada en una explicación de lenguaje y dentro del propio lenguaje matemático. Irad Kimhi, considera en sus ideas sobre la naturaleza de la lógica, que a diferencia de una verdad científica, la comprensión de la lógica muestra que se ha definido por una distinción entre la "fuerza" y el "contenido" de una proposición, es decir, entre el acto de afirmar algo y lo que se está afirmando. Si no hacemos esta distinción, de acuerdo con una visión estándar de la lógica, se podría divorciar la razón de la realidad. Por ejemplo:
Premisa 1: P -> Q [ "Si está lloviendo, las cosas están mojadas"]
Premisa 2: P ["Está lloviendo"]
Conclusión: Q ["Las cosas están mojadas"]
Tenga presente que esta conclusión se consigue si y solo si P "está lloviendo" es inequívocamente la misma cosa en cada una de las premisas. Pero en la primera premisa P no se afirma ("está lloviendo" se considera una posibilidad), mientras que en la segunda premisa P se afirma "está lloviendo, se presenta como un hecho). Por lo tanto, de acuerdo con este punto de vista, la afirmación o "fuerza" de P debe ser externa a la lógica. Una afirmación es una actitud psicológica ("creer…”), un hecho acerca de lo que alguien cree. La lógica, por el contrario, se refiere a las relaciones abstractas que se mantienen entre los "contenidos", aproximadamente los significados de las proposiciones.
La verdad matemática está compuesta de contenido matemático (números, funciones, conjuntos, álgebra, geometría…) y operadores lógicos, solo de estos depende su verdad. En cambio, en la verdad científica, es forzoso que la estructura matemática tenga coherencia con la fuerza que sostiene que la realidad en su interior y, esta sea la misma abstracción que la define.
Parece haber un gran peligro en el énfasis excesivo que prevalece sobre el carácter deductivo de los postulados de las matemáticas. Es cierto que la invención constructiva se dirige a motivar a la intuición como vía para todo logro matemático, incluso en los campos más abstractos. La grave amenaza para la vida del aprendizaje está implícita en afirmar que, las matemáticas son un sistema de conclusiones extraídas de las definiciones y postulados por la libre elección de los matemáticos. Si esto fuera así, los matemáticos no podrían construir conocimiento desde la base axiomática. La idea de que la voluntad puede a su antojo crear un sistema de definiciones y postulados a placer es engañosa. Así bien, el análisis lógico no representa todas las matemáticas, pero si ha llevado a una comprensión más profunda de los hechos matemáticos y su interdependencia, esto hace más abstracto en lo esencial a los conceptos sobre los objetos matemáticos. De ese desarrollo moderno lógico simbólico, la típica actitud científica universal confía en el rigor del razonamiento matemático para observar objetivamente la naturaleza. La mera percepción no constituye un conocimiento, debe ser interpretado en referencia a una entidad subyacente, como la lógica, la geométrica, la probabilidad, la categorización o la habilidad numérica.
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Autores:
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán