Texto universitario

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Módulo 1. Pensar las matemáticas es enriquecer la vida 

Vehículos autónomos (drones y coches), redes sociales dinámicas y avances espectaculares de la ciencia, son tiempos de la cuarta revolución industrial, cuyo hito es la Inteligencia Artificial. La educación se ha quedado rezagada al incorporar a su debate criterios y habilidades. Hay algo en común transversal a esta revolución, la llaman matemáticas. Nos acercaron en nuestra educación básica a ellas, describiendo el mundo real y más tarde como una forma eficaz de resolver problemas. Más tarde ya en nuestro siglo XXI, se impulsa como un estilo de pensamiento abstracto, aplicable a lo sintético en la biología, la inteligencia, los fármacos, los pigmentos, los elementos de la tabla periódica, anticuerpos…, produciendo mejores respuestas que antes.

Esta etapa de la educación en matemáticas está a pasos acelerados creando en los niños y jóvenes universitarios una brecha de desigualdad entre quienes aprenden asistidos por Inteligencia Artificial (por ejemplo: Wolfram, laboratorios virtuales, revisores de gramática…,) y quienes invierten en jornadas de procesos convencionales desconectados de los más amplios usos de las matemáticas en el mundo actual, con consecuencias de marginación laboral y pobreza. Los empleadores demandan más capacidades de cálculo para diseño, control, programación predictiva, ciencia de datos, teoría de información…, y, los recién llegados a las universidades les aplican cursos remediales de matemáticas convencionales. Los gobiernos de países y universidades claramente no están respondiendo a resolver el núcleo de las causas de la desigualdad matemática en la cuarta transformación industrial. 

Alrededor de la asistencia por computadora, se puede construir una frase que sintetice estos tiempos, “en la matemática de ayer las personas hacen casi todo el cálculo, en las matemáticas de hoy las reflexionan y las computadoras realizan los cálculos”. Este es el punto actual de la crisis de la educación en matemáticas.

“Los planes de estudio de las universidades parecen todavía olvidar esto en sus programas de matemáticas”. En el interior de la educación en matemáticas esto se refleja más allá de la estimación aritmética básica, en que casi ningún cálculo se hace a mano, la contabilidad, pólizas de seguros, diseño arquitectónico, piezas mecánicas de autos, entre muchos otros. Las matemáticas modernas no se tratan de cálculos a mano, sino del proceso computacional más amplio en el que los humanos piensan las matemáticas y las máquinas realizan los cálculos. 

¿Por qué la matemática? ¿Por qué la educación? Debemos seguir los pasos de definir el problema, abstraer, discutir e interpretar. 

Cuestionar los fundamentos, significa hacer preguntas a menudo profundas sobre el propósito, qué podría ser mejor y qué podría ser peor. Cuestionar esos fundamentos significa potencialmente elevar el conocimiento que nos ha puesto donde estamos, para bien o para mal, así que no es fácil y no se hace a la ligera. Distinguir la realidad práctica actual de una faceta profundamente arraigada desde la infancia, o la moda actual de las ataduras de la sociedad, es similar a cuestionar una costumbre social o los mandamientos en una religión como base fundamental de cómo funcionan nuestras vidas. 

Juzgar cuando realmente se necesita un cambio fundamental o cuando es simplemente una reacción de rodillas o mal informada, puede ser complicado, de la misma manera que la dificultad de determinar si dos efectos están vinculados causalmente o simplemente no hay correlación. Es difícil ser engañado en el momento de actuar cuando el cambio fundamental no es necesario o más comúnmente no actuar cuando es porque uno se convenció de que un problema desaparecerá y el mundo volverá a ser como estaba justo antes de surgir nuevas necesidades, las normas que uno está acostumbrado por dogma son las cadenas más desafiantes. 

¿Hay alguna manera de averiguar en qué tipo de momento se encuentra uno, particularmente para nuestro tema de educación de las matemáticas? De hecho, es tan obvio, que parece haber sido fácil de construir. Las computadoras no solo han transformado muchos aspectos del esfuerzo y el arte humano, sino que están específicamente e íntimamente vinculadas con el proceso matemático. El nombre de la tecnología sesga su conexión entre los pasos de discutir e interpretar, el proceso matemático a saber, su propia existencia es lo que hace programable las computadoras y utilizables, de esto es directamente responsable la teoría matemática, desarrollada por Alan Turing. 

A riesgo de afirmar lo obvio, las computadoras están en todos lados, en teléfonos, coches, aviones, tabletas, hornos de microondas…, están tan extendidas que todos nosotros cada día llevamos una cibernética con ellas. Con respecto al uso actual de las matemáticas, las computadoras son intrínsecas. También son clave en todos los otros modos del cambio histórico de comunicarnos, del perfil laboral, del acceso a la literatura y en la pandemia COVID-19, da cuenta que en todos los ámbitos de la vida está presente. 

Es difícil imaginar que lo más evidente sea que la educación modificará sus fundamentos de su práctica y un nuevo enfoque en el aprendizaje de las matemáticas. 

¿Cuál debería ser realmente el punto de discusión de la educación en particular para estos momentos? Claramente hay muchos niveles de respuestas a esta pregunta. Según Platón, era dar al cuerpo y al alma toda la belleza y toda la perfección de la que son capaces los hombres. Y para Martin Luther King Jr. era permitir que uno tamizara y sopesa la evidencia, discernir lo verdadero de lo falso, lo real de lo irreal y los hechos de la ficción. Nuestra propuesta es más simple, “enriquecer la vida”, no solo en la riqueza del conseguir un buen empleo, sino en el significado de progreso ético en sociedad. ¿Para qué todo esto?

Incluso basándonos en la sencilla respuesta de “enriquecer la vida”, la complejidad no es menor, necesitamos ser capaces y estar dispuestos a explicar por qué en cada tema del currículo, en particular lo útil para enriquecer la vida. Incluso este grado de especificidad proporciona una base temprana por motivos específicos, para permitir argumentar ideas fundamentales cuando el mundo tecnológico, los empleos y las vidas están cambiando tan rápido, que conducen a una parálisis reflexiva de las personas.

Es importante ser muy claros en que ser explícitos sobre las razones de un tema u otro determinado no significa ser limitados en la concepción de una razón transversal a nuestro horizonte de cambios en la educación. Por ejemplo, si un estudiante encuentra entusiasmo por la lógica del discurso, la historia del pensamiento moderno o la estadística inferencial, esa es muy buena razón para estudiar el tema, independientemente de si impacta como oportunidad laboral obvia, podría estar vinculada a ella una oportunidad insospechada. Aprender en sí mismo puede ser enriquecedor; no necesita un propósito más grande que lo que hace, enriquecer la vida. 

Paradójicamente, no buscar ese propósito más grande a veces puede conducir a habilidades únicas y altamente valoradas, sin mencionar que sentirse cumplido al aprender un tema puede transferirse al aprendizaje de los demás. Steve Jobs a menudo transmitía su experiencia de tomar nota en la universidad porque le resultaba interesante y agradable, sin embargo, era la razón clave por la que el ordenador Macintosh tenía una amplia gama de fuentes de tipografía, un factor temprano en su éxito de ofrecer producto para la creatividad en su éxito empresarial.

La educación de hoy en día con demasiada frecuencia adopta el sentido inverso: es inexplicablemente sobre el porqué se debe aprender algo, por ejemplo, matemáticas geométricas o algebraicas, pero estrecha en el rango de razones aceptables, porque califica temas como necesarios para la universidad. Esta versión es cada vez más ruin para la juventud atrapada en el tedio de ejercicios mecánicos. Es fácil ver cómo se ha llegado a tomar este camino equivocado, si miras la idea de progreso en la educación de la primera revolución industrial. 

Cuando la capacidad de sobrevivir como un extremo del espectro de enriquecimiento de la vida, es sentida así, las vidas más interconectadas son una oportunidad, donde las ideas de los individuos se extienden más allá de la conexión social más obvia de cara a cara. A medida que las sociedades se vuelven más desarrolladas, la subsistencia razonable, si no la supervivencia pura, requiere habilidades a un nivel de complejidad más alto. Donde la alfabetización sea un diferenciador importante en las sociedades desarrolladas y las que se quedaron atrás. Pero la alfabetización es solo una capa sustantiva de la educación humana necesaria para crear, interpretar y comunicar con el lenguaje. Las sucesivas revoluciones industriales agregaron nuevos requerimientos del perfil del hombre. Hasta nuestra actual revolución, la maquinaria ha reemplazado en su mayoría a la fuerza humana, no al cerebro humano. Esta vez es diferente, la llamada  cuarta transformación industrial está apuntalada en la Inteligencia Artificial como mecanismo de potenciación de la capacidad intelectual humana. Lo hace cuando el poder del proceso computacional: las matemáticas del mundo real están profundamente incrustadas en estos cambios. La educación necesita intensificarse en formas cada vez más complejas y exigentes de un emparejamiento de propósitos intelectuales y éticos. 

Hay muchos mecanismos de acelerar esta educación para la cuarta transformación industrial, acelerar y ampliar la experiencia intelectual. Proporcionar a los estudiantes para sus vidas aspectos destacados de los estilos más finos del pensamiento, exponerlos directamente a problemas típicos de la vida, experimentando construcciones de pensamiento que les ayuden a navegar por la vida real. Ampliar directamente sus estilos de pensamiento y fomentar los aspectos más destacados de las ideas de los demás. 

Sin embargo, es muy difícil que esta buena intención de la educación descienda por una realidad opuesta a este sentido de progreso ético. Pensando solo en la forma en que otros han pensado. Experimentar lo que era importante en el pasado, pero ya no lo es. Obtener una experiencia relativamente más estrecha de la vida a medida que la gama de la experiencia global se amplía. 

1.1 La razón de pensar coherente 

Nosotros diríamos que a través de gran parte de la historia humana, promediada durante períodos suficientemente largos, ha habido progresos en sistemas de razonamiento más creativos. Tenemos que decir que es un “promedio” dado que en el tercer mundo claramente ha habido particularmente un retraso masivo en el aprendizaje del pensamiento lógico. Pero incluso, creemos que es justo decir que más educación está presente en planes de estudio del desarrollo de los sistemas lógicos y de razonamiento. Es importante promover la educación de la capacidad lógica y comprensión de los estilos de razonamiento. Argumentamos un entrenamiento mental directamente asociado con el proceso computacional aritmético, geométrico, algebraico y de cálculo moderno. 

Las matemáticas tienen una belleza y elegancia que, una vez comprendida, es única y, por lo tanto, clave para la educación de todos. Iluminar a todos con la magia de las matemáticas con la apreciación de los grandes logros humanos en este arte. La lógica tiene una razón de ser de cualquier tema obligatorio como entrenamiento de belleza para que la juventud libere su potencial imaginativo.

Así como cuando nos invitaron a leer literatura, y no nos importó. No apreciamos la belleza de la escritura, ni vimos el punto de describir ideas que nos fueran claras. No podíamos ver la belleza en la literatura. Incluso puede que nos hayamos vuelto hostiles a la literatura por intentos de nuestros padres o profesores por que leyéramos. Ya que el factor motivador nunca lo pudimos encontrar. 

Así que quizá el mejor enfoque motivador es mostrar lo que hay de heroísmo y sacrificio de las grandes mentes de la historia. Así es posible que tengamos un enfoque de aprendizaje más conectado a algo que nos parezca interesante. Evaluar a los seres humanos en el desafío de abrir nuevos horizontes en el pensamiento. Así que la lógica de entrenamiento de la belleza nos parece una vía para mejorar la educación. Vale la pena decir que las computadoras ofrecen muchos nuevos puntos de unión con esta belleza potencial de las matemáticas. 

Fig 1.1 Juguemos en Mathematica Wolfram

Un argumento relacionado con la enseñanza de la belleza es la necesidad de arraigar los valores compartidos y la historia. Es un mecanismo de vinculación social capaz de discutir los principales logros humanos; y para ello, conocer su existencia y apreciar su belleza es importante. Desarrollar empatía con los valores compartidos e historia, es equivalente a saber algo de Shakespeare, al menos su vida famosa de dramaturgo, para reducir la desconfianza de la necesidad de apreciar su bellezas dándonos oportunidad de realizar el esfuerzo necesario. 

¿Se necesitan matemáticas para trabajar en el desarrollo social? Para bien o para mal, conocer las demostraciones o teorías de las grandes mentes matemáticas parece estar conectadas con la voluntad de adentrarse en su belleza. Durante veinte años hemos luchado porque los jóvenes universitarios renten una instrucción histórica de los desafíos matemáticos como vehículo particular para experimentar la belleza de las matemáticas. Así que podríamos apoyarnos en la historia de la ciencia, las matemáticas y la filosofía, y más recientemente los esfuerzos computaciones para enhebrar nuestra motivación y desarrollar el esfuerzo necesario para el pensamiento lógico que emerge de este viaje humano. No deseamos negar a nadie la formalidad de una demostración matemática, la manera que se propone para los recién llegados en desarrollar en el seno de la discusión histórica los proceptuales-simbólicos para imaginar formalmente los objetos matemáticos. De este modo desde los conceptos enriquecer la vida y apreciar la belleza en un modo de experiencias y carácter intelectual. ¿Apoyarnos en una herramienta computacional básica es necesaria para acelerar este objetivo? Sí, sugerimos emplear Wolfram Alpha y Mathematica como laboratorio virtual asistido por inteligencia artificial (https://www.wolframalpha.com).

1.2 Escribir y leer dentro del espacio computacional 

Leer y escribir es una alfabetización que debemos extender a la programación del hoy en día, tan popular entre científicos, médicos, químicos, ingenieros, artistas, psicólogos…, Hemos pasado de sociedad donde solo la burguesía gobernante, el clero, y ricos estaban alfabetizados para desarrollar todo su potencial creativo, de placer y estilo de pensamiento intelectual. Nuestro país se resiste a la evidencia de aplicar la alfabetización al mundo computacional. Es abrumadora la evidencia positiva de que esta habilidad de supervivencia de la cuarta transformación industrial agrega, valor y auto-dirección mucho más amplio para las personas educadas en este tema.

Cada asignatura de matemáticas debería contener un matiz, logrado dentro de las herramientas computacionales con el fin de desarrollar este estilo sistemático en el carácter intelectual de los estudiantes. La mayoría de las personas estarían más seguras usando correo electrónico, el lenguaje inglés con propósitos académicos y software asistido para cálculos matemáticos. La capacidad de expresarnos desde nivel básico hasta, estudios de universidad, se enriquece con las habilidades para cautivar empleando argumentos geométricos, estadísticos, algebraicos…, pero son habilidades matemáticas que debemos desarrollar desde primaria hasta posgrado. 

Los profesores de matemáticas, considerarían este enfoque con miras muy altas para sus vidas y práctica educativa. Por ello la Coordinación de Innovación Educativa, hace suyo este desafío, y a partir de 2020, todos sus cursos de matemáticas asumirán este enfoque apoyado en el laboratorio virtual de matemáticas. Lograr sociedades creativas estables, es un derecho de vida que requiere un buen nivel de alfabetización computacional.

Para hacer esta transición, primero necesitamos desempaquetar lo que es la matemática, lo que estamos haciendo cuando hacemos matemáticas o cuándo lo aprendemos y cómo ha cambiado debido a las computadoras. 

Por toda la mística, complejidad y extraños sobresaltos históricos de la simbología matemática tradicional, podríamos caracterizar el pensamiento computacional como la ciencia del cálculo moderno. El hecho de ver a las matemáticas como un proceso creativo, no significa que las consideremos solo una técnica, sino también una ciencia. El proceso es importante para progresar, pero se implementa para permitir el manejo de la complejidad, escuchando un método con su discurso y así preparar a las personas en ideas, comprensión y el proceso matemático más profundo. Usar proceso es desglosar la complejidad y es crucial, a menudo como apalancamiento para los recién llegados a este campo de belleza. 

El pensamiento sobre algo abierto y caótico, rara vez logra más que seguir un proceso de reflexión comprensible. A veces resulta mejor tener espacio creativo en pequeños desafíos crecientes para llegar a objetivos superiores de complejidad. 

1.2.1 Paso 1. Definir la pregunta que se desea realmente abordar

Definir la pregunta que queremos resolver, ayuda al proceso computacional, de que aquí en adelante cálculo lo referimos así. Necesitamos asumir, qué no sabemos y necesitamos saber. La pregunta es el factor inicial que limitará y evitará que el aburrimiento nos asalte, e incluso nos derrote en la ejecución de experimentar las construcciones matemáticas. Debemos definir con claridad los supuestos verdaderos de nuestro punto de partida, o investigar cuáles podrían ser. Este es el punto de anclaje para romper lo hermético de nuestra ignorancia. Un factor importante del rol de ganar experiencia es saber cuántos y qué factores ignoramos al principio; si te quedas atascado en la complejidad es porque no se definió este primer paso dando respuesta a un desafío de aprendizaje. La mayoría se queda sin oxigeno ante lo exigente de cada jornada de estudio, pero como en cualquier deporte hay que ponernos en forma para lograr un desempeño que nos divierta hacerlo, con ello sea factor que enriquezca nuestra vida. 

1.2.2 Paso 2: La idea es traducida a un lenguaje abstracto

En el contexto de su problema, discutamos las herramientas con las que podemos calcular y dar respuesta. La tarea es tomar la definición en lenguaje natural respecto al paso 1. Convertir la pregunta en forma computable, requiere de los conceptos operativos (adecuados para ser variables cuantitativas) dentro de un argumento estadístico, algebraico, vectorial, tensorial, diferencial,… para dar respuesta a lo que está buscando. En el paso 1 debemos hacernos de algunos fundamentos o axiomas sobre los cuales partir en nuestro razonamiento. La ciencia dispone en la literatura en el apartado de Métodos y materiales de sus reportes de investigación un punto de referencia para escalar el cálculo. ¿Por qué traducir el problema a lenguaje abstracto? Para cuestiones productivas, de inferencia, de diseño y control de calidad. 

La educación actual desafortunadamente se centra en su totalidad en las técnicas basadas a mano, lo que hace una experiencia de la abstracción sesgada. El contexto del problema traducido a conceptos operativos mejora aplicar la precisión del poder del modelo matemático. Al hacerlo así, desarrollará un número relativamente pequeño de sistemas de aplicación en su aparato intelectual, permitiéndole sistematizar y automatizar más eficazmente con computadoras. 

Para la abstracción se emplean a veces diagramas, fórmulas matemáticas, proceso de cálculo (algoritmos).El factor clave es hacernos de los conceptos operativos o ideas traducidas a variables medibles. El proceso computacional depende de los fundamentos de nuestros conceptos operativos. 

1.2.3 Paso 3. Calcular (computar datos)

En este punto ya hemos abstraído nuestro problema, por lo tanto, pasaremos al cómputo o cálculo. Es fácil afirmar el objetivo, tomar la pregunta abstraer y convertirla en repuesta abstracta. Por ejemplo, si nuestra pregunta abstracta fuera la ecuación x+3=8, el cálculo significa resolver para x, x=5. Las funciones computables son contables finitas o infinitas.

La mayoría de la educación lamentablemente se centra en este paso de realizar los cálculos. Años de tratar de dominar una gama bastante pequeña de cálculos diferentes, simplemente se realiza como mera técnica y no como pensamiento matemático. Este énfasis en el cálculo tenía sentido antes de las computadoras. Es mejor ver este paso, como un pensamiento computacional. Pero ¿qué es algo computable? una formalización de la noción intuitiva de algoritmo y según la Tesis de Church-Turing son exactamente las funciones que pueden ser calculadas con una máquina de cálculo. El problema de actuar a mano en el cálculo, es un factor que limita el poder de usar matemáticas. Si a mano no pudiste realizar el cálculo, no quiere decir que no puedes hacer matemáticas. 

Pero, para su suerte es extraordinario que hoy los procesos de paso 3 sean realizados por máquinas, esto ha dado lugar al rol humano de pensar en las interpretaciones de soluciones y no involucrarse en los sueños salvajes de realizar el proceso a mano. Los cálculos para poner al hombre en la Luna, tomaron por varios hombres unos 18 meses. Ahora estos cálculos asistidos por computadoras se realizan en unos segundos. Excepto en la educación, que se insiste que este ejercicio es hacer matemáticas. Uno ahora mismo para el éxito profesional debemos tener una mente entrenada en el estilo de pensamiento matemático, lo suficiente para traducir la realidad en matemáticas e interpretar sus resultados. En este curso intentaremos que el cálculo diferencial se realice preferentemente asistido por Inteligencia Artificial, apoyándonos en Wolfram Alpha. 

1.2.4 Paso 4: Interpretación 

Discutir los resultados del cómputo de datos, es una habilidad del cálculo humano exclusivamente, es llegar a juicios sobre las respuestas de los cálculos abstractos del paso 3. Para interpretar necesitamos tomar lo que significan los conceptos operativos dentro de nuestro marco teórico y fundamentos definidos en el paso 1. Aquí es verificar que tiene una respuesta útil y que no sesgue su interpretación, y luego reflexionar si la mejor respuesta o es necesario realizar ajustes y volver a computar. Un error común es asumir que solo hay una única manera de ganar experiencia. El pensamiento matemático nos exigirá conocimientos de los objetos matemáticos que estamos involucrando con el mejor detalle. 

Un error común es creer que si los cálculos los hace una máquina, entonces no hay manera de tener experiencia o capacidad para verificar sus resultados. Una cosa es el proceso de cálculo y otra el pensamiento matemático de las herramientas que estamos usando. Problemas no contextualizados en sus fundamentos, conceptos operativos y marco teórico, solo nos dan vínculos pequeños con los problemas que enfrentamos. Las matemáticas se tratan más de la vida del pensamiento que de calcular.

Confiemos, el proceso de pensamiento computacional, aparte de su capacidad para calcular con precisión las respuestas, nos exige pensar la complejidad involucrada. Siempre tendremos que investigar los conceptos, fundamentos y explicaciones entorno a nuestro problema. Algunos no están de acuerdo y consideran que la esencia de las matemáticas está en el paso 3. 

Hay otra diferencia clave entre la forma de la matemática tradicional de pensar y el enfoque del pensamiento computacional moderno. Tiene que ver con la economía de los tiempos de dar respuesta y acelerar el aprendizaje. En la vida, reducir la cantidad de tiempo invertido a los cálculos es clave, para poder invertir más en el aprendizaje de soluciones creativas e interpretación de soluciones dentro de los objetos matemáticos. 

Formular el problema es identificar sus fundamentos, simplificar en conceptos operativos, representar el problema en un marco de explicación que dicta sus justificaciones y representar estos conceptos en forma matemática. Seleccione apropiadamente métodos matemáticos y herramientas científicas o técnica según sea el caso. Resuelva ensayando la solución e interprete el comportamiento de los objetos matemáticos involucrados. Presente la solución discutida dentro de una revisión de la literatura en el mundo real. Reflexione y evalúe retroalimentar ajustes a su modelo.

En el siglo XXI, el programa PISA de la OECD considera esenciales para todo ciudadano que se inserta con éxito en la sociedad científica y tecnológica^[1]:

“La capacidad de razonar lógicamente y presentar argumentos de manera honesta y convincente es una habilidad que se está volviendo cada vez más importante en el mundo de hoy. La matemática es una ciencia sobre objetos y nociones bien definidos que pueden analizarse y transformarse de diferentes maneras utilizando el "razonamiento matemático" para obtener conclusiones ciertas y atemporales.

En matemáticas, los estudiantes aprenden que, con el razonamiento y los supuestos adecuados, pueden llegar a resultados en los que pueden confiar plenamente para ser verdad en una amplia variedad de contextos de la vida real. También es importante que estas conclusiones sean imparciales, sin necesidad de validación por parte de una autoridad externa”.

[1] https://pisa2021-maths.oecd.org

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Autores:

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán