Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

 

 

 

 

 

Lección 4. Lógica

En el estudio de la lógica, el objetivo debe ser que logremos ser precisos y cuidadosos. El lenguaje de la lógica es exacto. Sin embargo, vamos a ir sobre la construcción de un vocabulario de este lenguaje preciso mediante el uso de nuestro lenguaje cotidiano que a veces resulta confuso. Necesitamos elaborar un conjunto de reglas que serán perfectamente claras y definidas dentro de un lenguaje natural como es el español. Podemos utilizar frases en español para explicar las reglas precisas de un juego de operadores lógicos. De este modo nos permite aprender a pensar con objetividad científica. Por supuesto, la lógica es más que un juego de operadores, puede ayudarnos a comprender una forma de pensamiento riguroso, que es muy útil y exacto al mismo tiempo. Las frases que empezaremos en principio son del tipo atómicas y moleculares.


En la era de la ciencia avanzada, la palabra atómica se emplea con mucha frecuencia. De hecho, el significado de la palabra en el lenguaje de la lógica es similar al significado original de las ciencias físicas. En lógica, atómico se refiere a la clase de oraciones más simples, básicas o elementales. Si ponemos una o más frases atómicas junto con una palabra de conexión, entonces tenemos una frase molecular. Una oración atómica es una oración completa sin conexiones de operadores. Utilizamos conexiones u operadores para hacer oraciones moleculares de oraciones atómicas.


Por ejemplo, consideremos dos oraciones atómicas:


Hoy es lunes.

Habrá clases.

Ambas frases son atómicas. Usando una palabra de conexión, podemos ponerlas juntas y tenemos una oración molecular. Por ejemplo, podemos decir:

Hoy es lunes y habrá clases.

Esta frase molecular está conformada por dos oraciones atómicas y la palabra de conexión u operador discursivo es “y”. Cuando tomamos una frase molecular en sus partes, separamos sus oraciones atómicas. En el ejemplo anterior, podemos separar la frase molecular en las dos oraciones atómicas anteriores. 

Las palabras de conexión u operadores discursivos, son palabras que son en esencia un operador lógico y no conceptual. De hecho, debemos aprender algunas normas estrictas para el uso de estas palabras clave. Gran parte de lo que podemos hacer en el acto de pensar pasa por el estudio de la lógica de encadenamiento de estas razones. El estudio cuidadoso de la lógica de este encadenamiento, depende de aprender a pensar con operadores discursivos. La palabra conexión en las oraciones, refiere a conectivos de carácter lógico que crean oraciones moleculares a partir de sentencias atómicas. 


Los conectores de sentencias que usaremos en esta introducción son los conectores “y”, “o”, “sí”, “no” y “sí … entonces…”. Tengamos presente que emplear sentencias conectadas o encadenadas forman sentencias moleculares coherentes. La palabra conector u operador controla la razón formada por cadenas de sentencias atómicas. Una sola sentencia por si misma no forma una cadena de razón o sentencia molecular que deriva en una inferencia válida.


¿Qué es una inferencia válida? Primero, vivimos en un espacio de civilidad donde la verdad de la conclusión en la sociedad pasa por la verificación de la verdad de las premisas. Pero, ¿qué significa esto?, en general, hablamos de la capacidad humana de comparar reglas de código bajo criterios de verdad. Uno no debe de huir con la idea de la explicación de la validez deductiva anterior, que se expresó como si estuviera libre de problemas para aplicarla. Suponiendo que la conclusión es correcta, y sabemos que la inferencia es deductivamente valida por reconocer que no hay situación que invalide a las premisas. Ahora en cualquier razonable comprensión, debe haber más de una conclusión, en efecto hay muchas de ellas. ¿Cómo podremos saber todas las conclusiones que se podrían desprender de la cadena de razón?, parece un número infinito de inferencias sobre una situación; por lo tanto, es imposible, incluso en principio, construir todas las situaciones de inferencia. Así que nos damos cuenta que esta regla de validez es correcta, dado que podemos reconocer la inferencia de validez deductiva, pero no podemos conocer el universo de posibles inferencias. 

Quizá pareciera que debemos invocar a algún místico para intuir la validez. No necesariamente, consideraremos un problema análogo para aproximarnos a este desafío. Todos podemos distinguir entre lo gramatical y lo no gramatical, en las secuencias de palabras de nuestro lenguaje escrito sin demasiado problema. Pero aparecen en los textos un número infinito de oraciones gramaticales y no gramaticales. ¿Entonces que debemos hacer?, Noam Chomsky sugiere que podemos reconocer en la infinidad de oraciones, que estas, están en ellas encapsuladas de reglas de sintaxis que evolucionaron a partir de axiomas innatos en nuestra biología, es decir, poseemos desde el nacimiento una gramática innata universal a nuestra especie. Podríamos decir, que hay una lógica de raíz en nuestra manera de producir la objetividad en el lenguaje. En resumen, la validez de la inferencia deductiva pasa por la validez de las premisas que sugieren la conclusión. No puede ser una conclusión verdadera, sin que su cadena de razón formada por premisas también lo sea.

Las reglas de validez para operadores lógicos nos sujetan fuerte a la objetividad, a la hora de evaluar las diferentes inferencias. Para las dos premisas sobre la linea, ocurre una conclusión por debajo.

                      El empresario es rico                                El empresario no es rico

                                                  Los elefantes pueden volar

Ciertamente no parece valida. La riqueza del empresario, no parece influir en las capacidades de vuelo de los elefantes. Ahora modificaremos la deducción

                                                      El empresario es rico

                                      El empresario es rico o el elefante puede volar

       La primera premisa parece verdad. Pero al tener en cuenta la conclusión. Un lógico llamaría al operador de conexión de la conclusión, cláusulas en unión disyuntiva. ¿Qué se necesita para que una disyunción sea verdadera? Solo que una u otra de las premisas sea verdadera, entonces la conclusión es verdadera. 

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Esto no puede ser correcto. El encadenamiento de inferencias válidas en este modo no puede dar una inferencia no válida. Si las premisas son verdaderas en cualquier situación, entonces la conclusión lo es, porque se deriva de estas y así sucesivamente, hasta llegar a la conclusión final. Para dar una respuesta más ortodoxa, debemos centrarnos un poco más en los detalles. Para empezar, vamos a escribir la frase “los elefantes pueden volar” como p, y la frase “El empresario es rico” como q. Esto hace las cosas un poco más compactas; pero no solo eso: si lo pensamos por un momento, se puede ver que las dos oraciones particulares realmente utilizadas en los ejemplos anteriores no tienen mucho que ver con las cosas particulares, puede haber dos oraciones particulares distintas en la misma condición, así que podemos ignorar su contenido. Esto es lo que hacemos a la hora de escribir oraciones solas. 

La frase “El empresario es rico o los elefantes pueden volar” ahora se convierte en  q o p. Un lógico a menudo escribe esto como q V p. La frase “el empresario no es rico” la podemos escribir como una negación de q. Es decir, Imagen, y se llama negación de q. Para la frase “el empresario es rico y los elefantes pueden volar”, se puede escribir como q y p, siendo la “y” el operador de conjunción. Ahora podemos compactar la estructura anterior:

Imagen

¿Qué observamos de estas inferencias?. Las oraciones pueden ser verdaderas y pueden ser falsas. Utilicemos T para decir verdad y F para falsedad. Cuál es la conexión entre el valor de verdad a y el de su negación Imagen. Una respuesta natural es que si una es verdadera, la otra es falsa y viceversa. Podemos expresar esto así:


Imagen tiene el valor T  si solo si a es su valor F.


 Imagen tiene el valor F  si solo si a es su valor T.


Los lógicos llaman a estas condiciones de verdad, negación. Si asumimos que cada frase es verdadera o falsa, pero no ambas, podemos representar las condiciones en la siguiente tabla de la verdad:

Imagen

¿Cómo seria la tabla de la verdad para la disyunción?. Como ya se dijo, una posición natural a la disyunción Imagen, es verdadera si una u otra es verdadera, y falsa si ambas lo son F. Esto lo podemos modelar con la siguiente tabla de la verdad.


Imagen

Imagen son de valor T justo si solo si  al menos una a y b tienen el valor T.

Imagen son de valor F justo si solo si  las dos a y b tienen el valor F.



Ahora veamos el caso de “y”. La suposición natural es que b y a ambas sean T y en caso contrario será F. Podemos representar esta condición en la siguiente tabla de la verdad:


Imagen


a y b es  T, si ambas a y b tienen el valor T.

a y b es  F, si alguna o ambas a y b tienen el valor F.


¿Ahora, cómo es que comenzó todo este problema?. Debemos volver a la pregunta ¿qué es una situación? Un pensamiento natural sobre una situación, determina un valor de verdad para cada sentencia (oración). Así, por ejemplo, en una situación determinada, un valor de verdad para cada oración es solo el principio de determinar dentro de cadenas de razón la objetividad de la misma. En otras palabras, la situación se determina por la relevancia de las oraciones en su valor de verdad y la concurrencia de ellas en las cadenas lógicas del discurso humano. Trabajar el valor de verdad, lo hacemos de la misma manera que empleamos variables en el álgebra arábiga, donde cada variable es un número sin especificar cuál. Por lo tanto las tablas de verdad no refieren a los contenidos de las sentencias. 


Recordemos ahora, que una inferencia es válida, siempre que no haya ninguna situación de invalidez de las premisas dentro de la cadena de razón, esa misma que sostiene la inferencia de conclusión. 


¿Por qué la importancia de estudiar lógica como carga académica básica? Los argumentos están en todas partes, en el discurso de los profesores, políticos, escritores, científicos, técnicos, … El problema es que muchos de ellos con intensión o son muy malos y afectan la productividad, la democracia, la cultura en general. En un mal argumento, las premisas son irrelevantes para las conclusiones las que supuestamente son fundamentos de muchos malos intencionados. No es solo violar las reglas básicas de la lógica. La experiencia nos demuestra que sembrar falsas creencias en la gente, es desastroso y crea fracturas en la democracia, haciéndola  perniciosa para su sociedad.


Cuando un argumento es incorrecto, es porque su autor tiene comprometida una falacia. La falacia o argumento incorrecto cuando es formal, es falsa por la simple incoherencia de la forma del encadenamiento de las premisas. Podemos a este tipo de falacia referirla como estructura lógica defectuosa. Es cuando el argumento intenta inferir una conclusión y sin embargo, debido a la mala estructura de razón que encadena a las premisas es incoherente su lógica.

La falacia informal es muy difícil de identificar, debido a que la cadena de razón es correcta, pero el contenido de las premisas no es coherente con el de la conclusión, por estar fuera de contexto, o simplemente por no tener una misma base axiomática de sus fundamentos.