Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

 

 

 

 

 

 

Lección 15: Funciones y gráficas

 

 


Representamos funciones gráficamente por puntos en un plano de coordenadas trazado (también llamado, plano cartesiano). El plano de coordenadas es una red formada por un número de líneas, un línea horizontal y una recta numérica vertical, que se cruzan en un punto llamado origen. El origen es el punto (0, 0) y es el lugar "de partida". Con el fin de trazar los puntos de la cuadrícula, se le indica el número de unidades que debe ir a la derecha o a la izquierda y el número de unidades que debe ir hacia arriba o hacia abajo desde el origen. La línea horizontal se llama eje X y la línea vertical se llama eje Y. Las flechas en el extremo de cada eje indica que continúa más allá del final del dibujo.


A partir de una función, podemos recopilar información en términos de pares de puntos. Para cada valor de la variable independiente en el dominio, la función se utiliza para calcular el valor de la variable dependiente. Llamamos a estos pares de puntos de coordenadas puntos o valores, y se escriben como (x, y).


Para graficar un punto de coordenadas como (4, 2), se inicia en el origen. Después nos trasladamos 4 unidades a la derecha.  Luego pasamos 2 unidades hacia arriba desde la última posición.

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Gráfica los siguientes puntos de coordenadas en el plano cartesiano:

a) P(5,3)

b) P(-2,6)

c) P(-5,-7)

d) P(3,-4)

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El eje X y el eje Y dividen el plano de coordenadas en cuatro cuadrantes. Los cuadrantes están numerados a la izquierda a partir de la parte superior derecha. El punto marcado para (a) está en el primer cuadrante, (b) está en el segundo cuadrante, (d) se encuentra en el cuarto cuadrante, y (c) se encuentra en el tercer cuadrante.


Si una  tabla  nos da un  conjunto de puntos de coordenadas (-2, 6), (-1, 8), (0, 10), (1, 12), 

(2, 14). 

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Graficando con ayuda de Wolfram Alpha, list plot (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)

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Para graficar la función, trazamos todos los puntos de las coordenadas. Ya que no se nos dice el dominio de la función, podemos suponer que el dominio es el conjunto de todos los números reales no negativos. Para demostrar que la función es válida para todos los valores en el dominio, conectamos los puntos con una curva suave. La curva no tiene sentido para los valores negativos de la variable independiente, por lo que se detiene en x = 0, pero continúa hasta el infinito en la dirección positiva.

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A veces, usted tendrá que encontrar la ecuación o la regla de la función observando la gráfica de la función. A partir de un gráfico, puede leer los pares de puntos de coordenadas que se encuentran en la curva de la función. Los puntos de coordenadas dan los valores de las variables dependientes e independientes que se relacionan entre sí por la regla. Sin embargo, debemos asegurarnos de que esta regla funciona para todos los puntos de la curva. En este curso usted aprenderá a reconocer los diferentes tipos de funciones. En el objeto de estadística descriptiva, habrá métodos estadísticos específicos llamados de regresión o ajuste a curvas, que se pueden utilizar para encontrar la función de los puntos al encontrar la regla de la función. 


Por ejemplo, el siguiente gráfico muestra la distancia que cubre un chapulín en el tiempo. Encuentre la regla de función que muestra cómo la distancia y el tiempo están relacionados entre sí.

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Solución. Hacemos la tabla de valores de varios puntos de coordenadas, para ver si podemos observar un patrón de cómo se relacionan entre sí.


Tiempo

0

1

2

3

4

5

6

Distancia

0

1.5

3

4.5

6

7.5

9



Podemos ver que por cada segundo, la distancia se incrementa en 1.5 metros. Podemos escribir la regla de la función como:


Distancia = 1.5 x tiempo


La ecuación es f(x)=1.5x


Analiza la gráfica de una situación del mundo real. Los gráficos se utilizan para representar datos en todos los ámbitos de la vida. Usted puede encontrar los gráficos en los periódicos, campañas políticas, revistas científicas y presentaciones de negocios. He aquí un ejemplo de un gráfico que puede verse publicado en la prensa. Los científicos creen que el aumento de las emisiones de efecto invernadero en los cascos polares, en particular de dióxido de carbono, están contribuyendo al calentamiento del planeta. Este gráfico muestra cómo los niveles de dióxido de carbono han aumentado a medida que el mundo se ha industrializado.


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En este gráfico, podemos encontrar la concentración de dióxido de carbono que se encuentra en la atmósfera en diferentes años.

1900

285 partes por millón

1930

300 partes por millón

1950

310 partes por millón

1990

350 partes por millón


Podemos encontrar reglas de funciones haciendo aproximaciones.  Para estos tipos de gráficos se utilizan métodos que se aprenden en las clases de matemáticas avanzadas. La función  f(x)= 0.0066x ^ 2 - 24.9x + 23.765 aproxima esta gráfica muy bien.


Determinar si una relación es una función


Usted vio que una función es una relación entre las variables  independientes y las variables dependientes. Es una regla que utiliza los valores de la variable independiente para dar los valores a la variable dependiente. Una regla de función se puede expresar en palabras, como una ecuación, como una tabla de valores, y como un gráfico. Todas las representaciones son útiles y necesarias en la comprensión de la relación entre las variables. Matemáticamente, una función es un tipo especial de relación.

En una función, para cada entrada no es exactamente una salida. Esto generalmente significa que cada valor de x tiene un solo valor y asignado. Sin embargo, no todas las funciones implican  “x” y “y “ .


Tenga en cuenta la relación que muestra las alturas de todos los estudiantes en una clase. El dominio es el conjunto de personas en la clase y el rango es el conjunto de alturas. Cada persona en la clase no puede tener más de una altura al mismo tiempo. Esta relación es una función porque para cada persona hay exactamente una altura que pertenece a él o ella.


Observe que en una función, un valor en el rango puede pertenecer a más de un elemento en el dominio, por lo que más de una persona en la clase puede tener la misma altura. Lo contrario no es posible, una persona no puede tener varias alturas.