Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán

Lección 11: Orden de operadores

Observar y evaluar la siguiente expresión:






¿De cuántas maneras diferentes podemos interpretar este problema, y cuántas respuestas diferentes podría posiblemente encontrar alguien para ello? La forma más sencilla de evaluar la expresión es simplemente comenzar a la izquierda y su forma de trabajo a través de hacer el seguimiento del total de la marcha:







Si se introduce la expresión  en una calculadora no-científica, es probable  obtener 41 como la respuesta. Si, por el contrario, se va a escribir la expresión en una calculadora científica o software de matemáticas, es probable obtener 29 como respuesta.


En matemáticas, el orden en el que llevamos a cabo las distintas operaciones (tales como sumar, multiplicar, etc.) es importante. En la expresión anterior, la operación de la multiplicación tiene prioridad sobre la suma, por lo que la evaluamos a esta primero. Vamos a reescribir la expresión, pero haciendo uso de este criterio para la multiplicación entre paréntesis para indicar que va a ser evaluado primero.




Así que al evaluar primero el paréntesis: 4 x 7 = 28. Nuestra expresión se convierte en:




Cuando no tenemos más que la suma y la resta, se comienza a la izquierda y seguido de la del total, vemos:



Estudiantes de álgebra a menudo utilizan la palabra "PEMDAS" para ayudar a recordar el orden en que se evalúan las expresiones matemáticas: paréntesis, exponentes, multiplicación, división, adición o suma y  sustracción o resta.


Operador paréntesis




• Evaluar expresiones dentro de signos de agrupación como los paréntesis (también los corchetes [] y/o  llaves {}) en primer lugar.
• Evaluar todos los exponentes (términos al cuadrado o al cubo como 3² o 2³) siguientes.
• En trabajo de izquierda a derecha completar tanto la multiplicación y la división en el orden en que aparecen.
• Por último, evaluar adición y sustracción. El trabajo de izquierda a derecha completando  tanto la suma y resta en el orden en que aparecen.




Evaluar expresiones algebraicas con signos de agrupación




El primer paso en el orden de las operaciones se llama paréntesis, pero incluye todos los símbolos de agrupación en este paso. A pesar de que en su mayoría se utilizan paréntesis (). En este texto, usted también puede ver  corchetes [] y llaves {}, y se  deben incluir como parte de la primera etapa.


Ejemplo 1


Evalúe lo siguiente:

1. 4-7-11+2
2. 4-(7-11)+2
3. 4-[7-(11+2)]
   

Solución:


Cada una de estas expresiones tiene los mismos números y operaciones, en el mismo orden. Echemos un vistazo a cómo se evalúa cada uno de estos ejemplos.


a) Esta expresión no tiene paréntesis. "PEMDAS" establece el orden en que tratamos la suma y resta como aparecen, empezando por la izquierda a derecha.



b) Esta expresión tiene paréntesis. En primer lugar, evaluar 7 - 11 = -4. Recuerde que cuando se resta un punto negativo es equivalente a añadir un positivo.







c) Los corchetes se utilizan a menudo para expresiones de grupos que ya contienen paréntesis. Esta expresión tiene dos corchetes y paréntesis. El grupo más interior primero, (11 + 2) = 13. A continuación, complete la operación en los corchetes.

1. 
   






Ejemplo 2


Evalúe lo siguiente:




a) No hay signos de agrupación. "PEMDAS"  dicta que evaluar la multiplicación y la división primero, trabajando de izquierda a derecha: 3 x 5 = 15, 7/2 = 3.5:




b) En primer lugar, se evalúa la expresión entre paréntesis: 5 - 7 = -2. Entonces trabaje de izquierda a derecha.










c) En primer lugar, se evalúa la expresión entre paréntesis: 3 x 5 = 15, 7/2 = 3.5. Entonces trabaje de izquierda a derecha.







Tenga en cuenta que en la parte (c), el resultado no se modificó mediante la adición de paréntesis, pero la expresión parece más fácil de leer.

Algunas expresiones no contienen paréntesis, otras contienen muchas series de estos. A veces las expresiones tendrán un conjunto de paréntesis dentro de otro conjunto de paréntesis. Cuando se enfrentan con paréntesis anidados, comience en los paréntesis más internos y trabájelos hacia afuera.


Ejemplo 3


Utilice el orden de las operaciones para evaluar:



Usando "PEMDAS"  


Solución:







En álgebra, se utiliza el orden de las operaciones cuando estamos sustituyendo los valores en las expresiones de variables.


En estas situaciones se nos dará una expresión que incluye una variable o variables, y también los valores para sustituir.


Ejemplo 4


Utilice el orden de las operaciones para evaluar lo siguiente:





Solución:

a) El primer paso es sustituir  el valor de la expresión. Vamos a ponerlo entre paréntesis para aclarar la expresión resultante.


es lo mismo que 3x2

 


b) El primer paso consiste en sustituir el valor para y en la expresión.






c) El primer paso es sustituir los valores de t, u, v  en la expresión.





Usando "PEMDAS":  





En las partes (b) y (c), dejamos los paréntesis alrededor de los números negativos para clarificar el problema. No afecta al orden de las operaciones, pero sí ayuda a evitar confusión cuando se multiplican los números negativos.

El inciso (c) en el último ejemplo muestra otro punto interesante. Cuando tenemos una expresión dentro de los paréntesis, se utiliza "PEMDAS" para determinar el orden en que se evalúan los contenidos.


Evaluación de expresiones con fracciones


Las fracciones cuentan como símbolos de agrupación para PEMDAS, y por lo tanto deben ser evaluadas en el primer paso de la solución de una expresión. Todos los numeradores y denominadores pueden ser tratados como si tuvieran paréntesis invisibles. Cuando paréntesis reales también están presentes, recuerde que los símbolos de agrupación más internos deben evaluarse primero. Si, por ejemplo, los paréntesis aparecen en el numerador, ellos tienen prioridad sobre la barra de fracción. Si los paréntesis aparecen fuera de la fracción, la barra de fracción tiene prioridad.


Ejemplo 5


Utilice el orden de las operaciones para evaluar las siguientes expresiones:




Solución:


a) Sustituimos el valor de 2 en la expresión.






Aunque esta expresión no tiene paréntesis, vamos a reescribir para mostrar el efecto de la barra de fracción.



Usando PEMDAS, primero evaluar la expresión en el numerador.




Podemos convertir 1 para un número 4/4.




b) Sustituimos los valores de a y b en la expresión.




Esta expresión se ha anidado entre paréntesis (recordar el efecto de la barra de fracción en el numerador y el denominador). El símbolo de agrupamiento más interno es proporcionado por la barra de fracción. Evaluamos el numerador (3 + 2) y denominador (1 + 4) en primer lugar.



(1-1)+1=1




c) Sustituimos los valores de w, x, y, z en la expresión.

Esta expresión compleja tiene varias capas de paréntesis anidados. Un método para asegurar que empezamos con los paréntesis más interiores es hacer uso de los otros tipos de soportes. Podemos reescribir esta expresión, poniendo paréntesis a la barra de fracción. Los soportes exteriores los dejaremos como paréntesis (). A continuación serán los brackets, escritos como []. El tercer nivel de paréntesis anidados será el {}. Dejaremos los números negativos entre paréntesis.
















Evaluación de expresiones con la aplicación Mathematica 8


Mathematica es una herramienta muy útil para evaluar expresiones algebraicas. Mathematica sigue PEMDAS. En esta sección vamos a explicar dos formas de evaluar expresiones con Mathematica.

http://www.wolframalpha.com 


Método 1: primero sustituya las variables. Luego evalúe la expresión numérica con Mathematica.

Ejemplo 6


Evalúe  (3(x² - 1)²-x⁴+12)+5x³-1 con x=-3.

Escriba lo siguiente como input en Mathematica. Usted puede hacer esto al iniciar una nueva célula en Mathematica, que por defecto es un estilo de celda de entrada. Después, simplemente escriba la siguiente línea como usted tendría que escribir en una calculadora gráfica. Cuando haya terminado, haga clic dentro de la celda y pulse SHIFT + ENTER para evaluar la entrada.


[3((-3)^2-1) ^2-(-3) ^4 + 12] + 5(-3) ^3 – 1  evaluado en x=-3




Método 2: ingrese la proposición Evaluate  when 




Evalúe  (3(x² - 1)²-x⁴+12)+5x³-1 con x=2.





Evalúe  [5(x^3 - 1)^2-x^9+12]+3x^3-1  con x=5.




Ejercicios 7


A) Utilice el orden de las operaciones para evaluar las expresiones siguientes:


1)

2)

3)

4)


B) Evalúe las siguientes expresiones con variables.


5) (j k)/(j +  k) con j=6 y k=12

6) 2(y^2) con y=5

7) 3x2+2x+1 con x=5

8) (y^2-x)^2 con x=2 y y=1


C) Evalúe las siguientes expresiones con variables.


9) (4x)/(9x^2- 3x + 1) con x=2

10) z^2/(x + y) +x^2/(x - y) con x=1, y=-2, y z=4

11) (4x y z)/(y^2 - x^2) con x=3, y=2, y z=5

12) (x^2- z^2)/(x z - 2x(z - x)) con x=-1,y z=3   


D) Inserte paréntesis en cada expresión para que sea cierto.


13)

14)

15)

16)




Nota: en mathematica el símbolo  equivale a la multiplicación. 




Evaluación de expresiones con la aplicación MathematicaAlpha


17) x²+ 2x-x y con x = 250 y  y = -120

18) (x y-y^4)² con x = 0.02 y  y = -0.025

19) (x + y -z)/(x y+y z+x z ) con x=1/2, y=3/2, y  z=-1

20) (x + y)²/(4x²- y² ) con x=3 y  y=-5


Resultados:

1) -32

2) 76

3) -2

4) 0

5) 4

6) 50

7) 86

8) 1

9) 8/31

10) -47/3

11) -24

12) -8/5

13) (5-2)x(6-5)+2=5

14) (12/4) + 10 - (3x3) + 7 = 11

15)

16) 12-(8-4)*5=-16

17) 93000

18) 0.000000250391

19) -12/520) -4/11