Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán

Lección 10: Álgebra

Expresiones algebraicas

Cuando un problema de cálculo se nos presenta una y otra vez, conviene algebrarlo, los matemáticos crearon un cuerpo o campo T bajo la propiedad de cerradura, es decir, cerrado bajo operación binaria (+, x); llamado álgebra. La idea del álgebra es que una vez que hayamos resuelto un problema, se puedan generalizar sus soluciones para similares situaciones. Suponemos que usted ya está familiarizado con un álgebra,  por lo menos con la aritmética, que opera solo números bajo la operación binaria de adición y multiplicación.  

En el álgebra arábiga, a los símbolos x,y,z, se les llama expresiones variables. La letra x, por ejemplo, a menudo expresa la generalización de una cantidad numérica. Es decir, la x puede expresar una incógnita para la cual enunciamos “para una x expresada dentro de una proposición de notación matemática”.      

Las propiedades que cumple un cuerpo  T  con elementos escalares x,y,z, ... en el que se define  por dos operaciones: la adición (+) y la multiplicación (·)  son:

(+)  x + y  : es un elemento de T, cerradura.

(+)  y + x = x + y  : conmutativa

(+)(y + z )+ x = y + (z + x) : asociativa

(+) El cero, constituye  el único elemento neutro de T:  x + 0 = x 

(+) La simetría para cada elemento  respecto al cero es única en T.  x + (– x) = 0  

(·) x · y = y · x  : conmutativa,        

(·) x · y · z = x ·( z · y) : asociativa.  

(·) en el cuerpo T solo existe un elemento neutro unidad: x · 1 = x 

(·) a cada elemento no nulo de T corresponde un simétrico x^-1 x = 1.

(·) la multiplicación frente a la adición  es distributiva:

                x (y + z) = xy + xz   

El uso de variables ofrece ventajas con respecto a la solución de cada problema “desde cero”:

• Se permite que la formulación general de leyes aritméticas tales como  x-1-y=y+1-x;  para todos los números reales x y y.
• Se permite la referencia a los números desconocidos, por ejemplo: encontrar un número x tal que 8x+3=1.

Ejemplo 1

Escribe una expresión algebraica para el perímetro y el área del rectángulo de la siguiente manera.

Para encontrar el perímetro, añadimos las longitudes de los lados. Podemos empezar en la parte superior izquierda y trabajar hacia la derecha. El perímetro, P, es por lo tanto:

Estamos añadiendo dos y dos  . Diríamos que:

El área es la longitud multiplicada por el ancho. En términos algebraicos se obtiene la expresión:

Evaluación de una expresión algebraica 

Cuando se nos da una expresión algebraica, una de las cosas más comunes es evaluarla para un cierto valor dado de las variables. El siguiente ejemplo ilustra este proceso.

Ejemplo 2

Para x = 12 . Evaluar la expresión:  2x - 7.

Para encontrar la solución, sustituir 12 por x en la expresión dada. Cada vez que vemos x lo reemplazaremos con 12. Nota: En esta fase se coloca el valor en paréntesis:

La razón por la que ponemos el valor sustituido entre paréntesis es doble:

1. Esto lo hará más fácil para usted en ejemplos a seguir.
2. Se evita cualquier confusión que pudiera surgir de dejar caer un signo de multiplicación: .

Ejemplo 3 

Sea x = -1. Encuentra el valor de    -9x + 2.

Solución:

Ejemplo 4

Sea y=-2. Encuentre el valor de .

Solución:

Muchas expresiones tienen más de una variable en ellas. Por ejemplo, la fórmula para el perímetro de un rectángulo en la introducción tiene dos variables: la longitud ( l ) y la anchura (w). En estos casos, debe tener cuidado de sustituir el valor adecuado en el lugar apropiado.

Ejemplo 5

El área de un trapecio está dada por la ecuación . Calcula el área de un trapecio con dimensiones a = 10 cm, b = 15 cm y altura h = 8 cm.

Para encontrar la solución a este problema, simplemente tomemos los valores dados para las variables a, b ??y h e introducirlas en la expresión para A:

10 para sustituir a, 15 para b, y 8 para h.

Evaluar pieza por pieza. .

Solución: El área del trapecio es 100 centímetros cuadrados.

Ejemplo 6

Encontrar el valor de cuando x=7, y=-2 y z=11 .

Vamos a sustituir los valores de  x, y, z y luego evaluar la expresión resultante.

Evaluar las condiciones individuales dentro de los paréntesis.

Combinar términos dentro del paréntesis.

Solución: (redondeada a la centésima más próxima).

Ejemplo 7

La resistencia total de dos componentes electrónicos conectados en paralelo está dada por

donde el subíndice [R₁] y subíndice [R₂] son las resistencias individuales (en ohmios) de los dos componentes. Encontrar la resistencia combinada de dos componentes cableados si sus resistencias individuales son 30 ohmios y 15 ohmios. Con voltaje V=5.

http://demonstrations.wolfram.com/ResistorsInParallel/

La corriente en un circuito se puede calcular usando la ley de Ohm: , la corriente eléctrica I, es directamente proporcional al voltaje e inversa a la resistencia. En este circuito simple, las dos resistencias están en paralelo, por lo que el recíproco de la resistencia efectiva, es la suma de las inversas de las resistencias. Esto puede deducirse del hecho de que la corriente se divide por igual entre las dos resistencias. La corriente es entonces 

I=. No hay corriente cuando el circuito está abierto.

Evaluación algebraica de expresiones exponenciales

Muchas fórmulas y ecuaciones en matemáticas contienen exponentes. Los exponentes se utilizan como una notación para representar la multiplicación repetida. Por ejemplo:

El exponente representa cuántas veces el número se utiliza como un factor (multiplicado). Cuando tratamos con números enteros, es normalmente más fácil simplificar la expresión. Simplificamos:

y

Sin embargo, necesitamos exponentes cuando trabajamos con variables, ya que es mucho más fácil de escribir que .

Para evaluar expresiones con exponentes, sustituimos los valores que se dan para cada variable y así logramos simplificar. Es especialmente importante en este caso para sustituir el uso de paréntesis con el fin de asegurarse que la simplificación se hace correctamente.

Ejemplo 8

La fórmula del área de un círculo es dada por . Calcule el área del círculo de radio r=0.95 pulgadas. 

Sustituimos y evaluamos  en la ecuación la variable.

Sustituimos .95 por r.

Ejemplo 9

Encuentre el valor para 

Nótese que cuando el exponente es par la cantidad siempre será positiva, en caso de ser impar, será negativa. 

Ejercicios 1:

a) Escribe lo siguiente en una forma más condensada, dejando fuera un símbolo de multiplicación.

b) Evaluar las siguientes expresiones para a = -3, b = 2, c = 5, y d = -4.

5.  2a+3b

6.  4c+d

7.  5ac -2b

8.  (2a)/(c - d)

9.  (3b)/d

10.  (a - 4b)/(3c + 2d)

11.

12. 

c) Evaluar las siguientes expresiones para x = -1, y = 2, z = -3, y w = 4.

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Resultados:

1)

2)

3)

4)

5) 0

6) 16

7) -79

8) -2/3

9) -3/2

10) -11/7

11) -1

12) -3/10

13) -8

14) -5/162

15) -53

16) -3

17) -37/91

18) -10

19) 302

20) 28/9