Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

 

Idea eje: el pensamiento matemático

 

 


Contexto


David Martín de Diego, vicepresidente de la Real Sociedad de Matemáticas e investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) responde a la pregunta ¿Hasta qué punto las matemá ticas están presentes en nuestras vidas? 


“Simplemente las vemos al pagar la compra o en el porcentaje de calorías del desayuno, ¿o hay más matemáticas rodeándonos, ocultas a los ojos desentrenados? Las matemáticas están muy presentes en todos los ámbitos. Hay estudios que se han realizado en países como Inglaterra y que están demostrando que el impacto que tienen es muy importante en el PIB. Las matemáticas se están utilizando en finanzas, farmacología, ingeniería aeronáutica… Son matemáticas que hay que realizar, que hay que explorar. Un país que quiera ser desarrollado y tener un buen futuro necesita muchos matemáticos, y científicos en general”[1].


Se dispone ahora de la evidencia de una amplia gama de investigaciones, que demuestran que la adaptación individual de los humanos utiliza las habilidades cognitivas existentes para compartir y transmitir los avances a través de la colaboración social[2]. No es simplemente una cuestión de aprender a copiar la actividad de otras personas, sino las maneras en que otros piensan, es decir, compartir cómo crear conocimientos, de esta manera, acumular socialmente los modos de crear conocimientos es indispensables para el desarrollo. 


El último informe de PISA en profundidad sobre las matemáticas, señala la importancia de mejorar su enseñanza como algo fundamental para conseguir mayor movilidad social. Según la OCDE, en Ecuaciones y Desigualdades: haciendo las matemáticas accesibles a todos los individuos, aquellos que manejan mejor los números, tienen un empleo mejor pagado y disfrutan de mejor salud. Ahora mismo, según lo estudiado por los analistas en educación de PISA, la manera en la que se enseña hoy matemáticas está profundizando en la desigualdad educativa por lo que califica los hallazgos de "decepcionantes".  Pero, el vaso medio lleno es pensar que una buena calidad en la enseñanza de las matemáticas puede hacer mucho por solucionar las desigualdades sociales. "Todos los estudiantes necesitarán las matemáticas en su vida adulta. Reducir las desigualdades en el acceso al mejor contenido de las matemáticas es una herramienta para aumentar la movilidad social", concluye el informe[3].


Avanzar en el pensamiento matemático de los ciudadanos sin duda genera la pregunta, ¿cómo hacer pasos importantes en la educación de nuestros estudiantes cuando estos ni siquiera dominan las operaciones con fracciones?. Por supuesto que esto lo tenemos en cuenta, muchos tratan de inculcar por la fuerza mecánica una aparente competencia simbólica, pero en realidad sin semántica solida asociada a los símbolos, este error se suma al hecho denunciado por la UNESCO en Corea 2015: “El apagón pedagógico”. Donde la declaración del Foro Mundial sobre la Educación, asegura que "hemos perdido la capacidad de analizar pedagógicamente los problemas dentro de las comunidades académicas y dentro de la escuela. Hoy el docente ha sido casi obligado a transmitir lo que otros producen y ha no producir su propio conocimiento. Esto es una crisis que reduce al docente a un instrumento y deja de ser un agente creativo”[4]. Es decir, un docente que crea sus propuestas de contenido, es un agente que fortalece la soberanía intelectual de su sociedad. Algunos nos sorprende y causa tristeza, que muchos no encuentren a las matemáticas en la realidad moderna, parece que hay ceguera, coincidimos con que la causa más clara de esto es el Apagón Pedagógico, sí, esa mala actitud de hacer instrumento lo que debiera ser creatividad virtuosa.


Las matemáticas sin duda participan en la exploración del universo, de sus átomos, en la música, en la construcción de grandes ciudades, en la tecnología digital, en la medicina, es decir, están en todo el desarrollo de la civilización. Explorar de este modo, es la búsqueda de patrones geométricos, numéricos y la determinación de las ecuaciones que gobiernan al universo. Pero es la guerra la que en el siglo veinte impuso las matemáticas al grado estratégico de desarrollo de las sociedades. Pero recientemente los avances científicos y tecnológicos de principios de este siglo XXI, le dan a las matemáticas un lugar propio y clave para la soberanía intelectual de la sociedad moderna. Las matemáticas están en las flores, los insectos, las partículas subatómicas, predicciones de clima, pero sobre todo están como capital intelectual del arte, la ciencia, la tecnología, la literatura, es por ello, que nosotros aquí, las abordamos  desde la óptica de un viaje de exploración.



Pedagógica proceptual-simbólico


Aquí, presentamos el paradigma pedagógico propuesto para aprender el pensamiento matemático. De acuerdo con la investigación científica en el marco del campo de la educación matemática, en particular desde el punto de vista de la experiencia. Esta educación de las matemáticas proceptual-simbólico despliega un énfasis en el desarrollo cognitivo basado en marcos de imágenes conceptuales y sobre esquemas formalmente definidos. El concepto intuitivo, es el que contiene la imagen mental del objeto matemático, propiedades asociadas, procesos y elementos estructurales[5]. En concreto la idea destacable en este paradigma, es la de una imagen conceptual contenida en todo símbolo de notación matemática, el aprendiz registra mentalmente los significativos estructurales en una forma de desafío auto reconstruible. Este modelo asume la abstracción reflexiva aportada por Piaget[6], la cual consiste en dos mundos: proceptual-simbólico y  formal-axiomático. 


El pensamiento matemático aplica a los conceptos percibidos por los sentidos, construimos concepciones mentales mediante el uso de las percepciones físicas. En el mundo proceptual, las acciones sobre las concepciones mentales se encapsulan mediante el uso de símbolos. En este sentido, el término Proceptual destaca la existencia de una confrontación de razones entre el proceso y el concepto evocado por el mismo símbolo, tanto en un proceso o en el concepto producido por este proceso. La transición al mundo formal, requiere primero a los proceptuales, antes que las definiciones a través del pensamiento formal o pensamiento natural[7]. Este modelo pedagógico proceptual-simbólico, combinado con la pedagogía avatar (discurso narrativo de una  experiencia de aprendizaje), es más flexible ya que no hace hincapié en la importancia particular en el orden de los aprendizajes, sino en el orden mental del proceso de pensamiento presentado como un flujo discursivo narrativo.


Este marco educativo avatar se utiliza para formular el crecimiento de las ideas, por ejemplo en el cálculo infinito decimal desde dos ideas significativas: el proceso finito de cambio de la aritmética a el álgebra dentro del concepto de límite potencialmente infinito. Este cambio de los experimentos mentales del cálculo simbólico, es determinante para las definiciones y pruebas de soluciones de cálculo que los aprendices serán capaces de realizar. 




Currículo a desarrollar


El siguiente universo de términos sintetiza el espacio de desafío desde donde proyectamos al pensamiento matemático, es decir, los experimentos mentales necesarios para que el mundo platónico se aprenda a partir de un discurso que contempla el capsular los pensamientos en forma simbólica y compartir el cómo se crea conocimientos dentro de las matemáticas.




Algunas de las investigaciones relacionadas con el diseño de tareas sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas utilizan los principios fundamentales de la noción de situación, que se define como el modelo ideal del sistema de relaciones entre los estudiantes, un maestro y un medio de conocimiento matemático. El proceso de aprendizaje se pone de relieve a través de las interacciones que tienen lugar dentro de un sistema de este tipo. En esta situación, el trabajo de los estudiantes se basa en varios niveles con un enfoque principal en la acción, en la formulación a través de la construcción de un lenguaje apropiado y en la validación utilizando un cuerpo coherente de conocimientos[8]. El trabajo de los estudiantes crece durante las fases de acción, formulación y validación de la optimización de las interacciones de referencia de coherencia con los compañeros y el profesor. También utilizan para estudiar los libros de análisis regulares, de manera que las interacciones que tienen que colocar dentro del sistema formado por el profesor, los estudiantes y el ambiente, es gobernado por el contrato didáctico real y evoluciona de acuerdo a su naturaleza de desafío. 


Para crear un modelo de actividad didáctico, se utiliza la noción de praxeología, que es una manera formada de dos bloques: lo teórico y lo práctico. El bloque práctico contiene tipos de tareas y técnicas para la solución de tareas. Las técnicas (es decir, los discursos que justifican los procesos usados) y la teoría que los justifican dan estructura a los componentes del bloque praxeologico. Al modelar las actividades matemáticas relacionadas con conceptos en praxeologías matemáticas, los investigadores sugieren que se aprende más deprisa de este modo, cuando se recibe asistencia del profesor o apoyo desde un laboratorio digital[9]. 


Otros investigadores utilizan el modelo COF por sus siglas en inglés “Commognitive Framework of Sfard”, para analizar el discurso de los estudiantes y el discurso de los profesores, así como la comunicación matemática entre éstos. El fundamento básico del COF es que "el aprendizaje de las matemáticas es la iniciación en los discursos en la matemática que implican cambios semánticos sustanciales para los estudiantes y en la enseñanza de matemática implica la facilitación de estos cambios"[10]. El discurso matemático se puede especificar en función de palabras que se usan; mediadores visuales; narrativas y rutinas tales como la definición, conjeturas que surgen en las demostraciones. El discurso tal como la producción de la demostración, es el que se da a través de pasos deductivos para asegurar llegar a ser objetivos en una narrativa; se llama justificación a este proceso de discurso. En el COF, la comunicación matemática implica transiciones continuas de significantes (palabras o símbolos que funcionan como sustantivos), que es un proceptual accesible para que toda narración refrendada por el significante, pueda implicar a los axiomas en el fondo de toda semántica conjuntada dentro de un símbolo matemático.

En resumen, se propone aprender matemáticas desde un orden proceptual-simbólico mediado por un avatar, es decir, una narrativa que implica a las justificaciones que dan coherencia al discurso matemático. Cada nuevo aprendizaje matemático puede comenzar por cualquier lado, lo importante son los objetos matemáticos que involucre, que el estudiante desarrolle sus ideas intuitivas y las observe dentro de una estructura mayor a la que se aspira aprender, para más tarde dar paso a esa cadena de deducciones que den formalidad al discurso de los aprendices. La interacción dialógica entre profesor y estudiante, es el proceso de refinamiento de los proceptuales. Y es en la práctica donde se hace firme la sintaxis simbólica de la notación matemática. En otras palabras, desarrollar todo pensamiento matemático, es por un lado construir la intuición de los significantes implicados en los objetos matemáticos de las estructuras complejas, tales como lo que es un álgebra, una función, etc.










[1] http://www.periodismoull.es/las-matematicas-nos-ayudan-a-ser-mejores-ciudadanos/

[2] Shneidman, L., & Woodward, A. L. (2016). Are child-directed interactions the cradle of social learning. Psychol Bull, 142(1), 1-17. doi:10.1037/bul0000023

[3] http://www.oecd.org/pisa/keyfindings/Equations-and-Inequalities-Making-Mathematics-Accessible-to-All-Spain-ESP.pdf

[4] http://es.unesco.org/world-education-forum-2015/

[5] Tall, D. (2004). The three worlds of mathematics. For the Learning of Mathematics, 23(3),

29–33.

[6] Dubinsky, E., & McDonald, M. (2001). APOS: A constructivist theory of learning. In D. Holton

(Ed.), The teaching

[7] Tall, D. O. (2008). The transition to formal thinking in mathematics. Mathematics Education

Research Journal, 20(2), 5–24.

[8] González-Martín, A.-S., Bloch, I., Durand-Guerrier, V., & MMaschietto, M. (2014). Didactic situations

and didactical engineering in university mathematics: Cases from the study of calculus

and proof. Research in Mathematics Education, 16(2), 117–134.

[9] Warren, E., Miller, J., & Cooper, T. J. (2013). Exploring young students’ functional thinking.

PNA, 7(2), 75–84.

[10] NARDI E. 2007. Amongst Mathematicians: Teaching and Learning Mathematics at University Level (Mathematics Teacher Education). Springer.