Texto académico

Autores

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Gladys Juárez Cisneros
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán
Martha Ivett Huerta Varela

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Teoría del logos  

Si buscamos la palabra "lógica" en un diccionario, lo más probable es que la veamos definida por alguna variante de "teoría de la inferencia"; si vamos un poco por debajo de la superficie de esta caracterización, veremos que lo que se supone que debe hacer la teoría de la lógica es especificar los parámetros por los cuales una inferencia puede ser considerada "válida", es decir, tal parte de ella (la conclusión) “depende” de algunas otras partes (las premisas). La palabra "razonamiento" también se incluirá allí, pero de tal manera que se identifique indiscutiblemente con el razonamiento inferencial y el buen razonamiento, identificado con inferencias válidas. Después de eso, estamos hablando de mundos posibles, patrones y reglas formales de sentencias para inferir válidamente algunos de esos patrones. 

La teoría del logos que generalmente se considera la única lógica existente se referirá aquí como lógica analítica, está basada en los trabajos de Aristóteles; en los últimos tiempos ha pasado por importantes desarrollos, entre ellos un tratamiento nuevo y más satisfactorio de las relaciones debido a Frege. Pero lo que sigue siendo cierto es que el lenguaje y el significado están organizados por predicados que no pueden ser ciertos para la misma cosa (al mismo tiempo) y, por extensión, sentencias que no pueden ser verdaderas (al mismo tiempo). Al contrario, las palabras pueden tener definiciones definitivas y los argumentos pueden llegar a conclusiones concluyentes: sí se considera que son correctos al ser revisados. Las inferencias son argumentos de este tipo: argumentos, desde premisas hasta conclusiones. Debido a su carácter concluyente, las inferencias pueden formalizarse, se puede extraer de ellas el mínimo de contenido que hace posible establecer las conclusiones y asegurarse de que, siempre que se identifique ese mismo mínimo de contenido en una inferencia, una conclusión correspondiente será garantizada.

La lógica analítica tiene su aplicación más natural a las entidades matemáticas y a otras entidades que los filósofos han modelado sobre las matemáticas. Es a Aristóteles, a quien se le ha atribuido universalmente la invención de la lógica, ocasionalmente de maneras extravagantes por ejemplo, Kant, pensó que no solo inició la disciplina sino que también le puso fin. Y la lógica universalmente atribuida a él, es una teoría de la inferencia, que los estudiosos posteriores expandieron y sistematizaron, tradujeron al lenguaje matemático y codificaron a cálculos formales. Pero solo uno de los seis tratados que comprende el Organon (la colección de obras lógicas de Aristóteles), aborda la inferencia y sus patrones. Lo que está contenido en el Organon incluye (entre otras cosas) una revisión de los elementos básicos del universo (las categorías); una distinción entre símbolos hablados y escritos, que varían de un idioma a otro, y las experiencias mentales que significan esos símbolos, que son iguales para todos (en la interpretación); y una teoría de la definición (en el análisis posterior). Lo que es coherente con nuestra opinión a la concepción de Aristóteles de la lógica como teoría de la inferencia, es una consecuencia de su concepción, de cómo las palabras se unen a las cosas y cómo adquieren significados.

Lo que modula las conexiones mundo-palabra, en el marco aristotélico, son definiciones, que están construidas por género y diferencia. Digamos que quieres definir humano, empieza con la sustancia original del género (o categoría), de la cual no hay mayor (el ser no es un género), y luego avanza paso a paso por un árbol de porfirio (en realidad, para nosotros se parece más a las raíces). Se enfrenta a una primera ramificación del árbol cuando tiene la opción de elegir entre material e inmaterial, toma el primer curso y se encuentra con una nueva opción entre animado e inanimado; toma el primer curso y se encuentra con una nueva opción entre autónomo y subordinado. Una vez más, elige el primero y etiqueta ese con “animal” como nodo; más abajo, debe seleccionar racional o irracional. Usted elige racional y alcanza su objetivo: las cosas que se llamarán humanas tendrán que encontrarse entre los animales del género, y lo que hace la diferencia entre ellos y otros animales, es que son racionales: todos los demás animales son inconscientes. Para decirlo de otra manera, el significado de humano, se especifica por su definición como animal racional y, por lo tanto, se analiza en una colección de rasgos, que son dos en esta versión abreviada, pero de hecho se observan más si recordamos cuál el género animal y  la diferencia racional (que se encontrará en otro árbol, cuyo género original es la categoría de calidad) que significan para ellos mismos.

El análisis que esbozamos arriba, todavía tiene, en esta etapa del juego, características sueltas y sin pretensiones. Uno podría imaginar que el significado de una palabra se divida en varios elementos y luego estos elementos se recombinen en el significado de alguna otra palabra, o diferentes elementos se combinen en otro significado (o incluso el mismo) de la misma palabra. Pero no es así como funciona aquí, debido a una segunda característica crucial del marco aristotélico: todos los pasos dados en un proceso de definición son irreversibles; el análisis que proporciona una definición de una palabra no es un ejercicio de juego combinatorio; es una vía semántica. Es esta característica, más que ninguna otra, la que califica el marco y la lógica resultante como analítica. Para el análisis que usted proporcionó del significado de humano (observe lo definido) es todo lo que habrá que decir sobre ese significado.

Regrese a la elección entre animado e inanimado. Estas dos cualidades (o predicados, para usar un término que tiene más vigencia hoy en día) son contrarios: no pueden estar ambos en la misma sustancia al mismo tiempo (si se ven como predicados, no pueden ser ambos verdad de una sustancia al mismo tiempo). Por lo tanto, si elige animado, la opción de elegir más tarde inanimado se excluye; su elección es irrevocable. Además de ser contrarios, animado e inanimado, también son contradictorios (tampoco pueden ser una sustancia al mismo tiempo) y los contradictorios tienden a monopolizar la prensa relevante; pero es su naturaleza como contrarios lo que es crucial para el punto que intento ejemplificar. Si después de dejar atrás a un animal se enfrentara a un nodo que requería elegir entre mamíferos, aves, peces, reptiles e insectos, y decidiera seguir el camino de los mamíferos en busca de humanos, su elección no sería menos irrevocable por el hecho de que ese mamífero no es contradictorio sino (solo) un contrario del pájaro (como lo es de los peces, reptiles e insectos). Lo que lo haría irrevocable es el simple hecho de que la cualidad de ser un mamífero no puede coexistir en una sustancia con la cualidad de ser un pájaro (o un pez, un reptil o un insecto), independientemente de si todo debe ser o no uno o el otro.

Lo contrario en la estructura del universo aristotélico, y los predicados contrarios, son lo que estructura el discurso aristotélico. Esta correspondencia sería una discusión interesante, hasta qué punto nuestro lenguaje determina nuestro mundo; pero esa discusión, por atractiva que sea para nosotros, tendrá que esperar. Por el momento, hagamos un balance de la correspondencia y el uso: lo que se dice al lado de las palabras a menudo se extiende al lado de las cosas; las relaciones entre las cosas a menudo hacen eco de las relaciones entre las palabras. Y, con eso en mente, nos concentramos en un elemento de la definición de contradicción: en la modalidad "no se puede". Esta modalidad nos hace ir más allá de la mera descripción en nuestra cuenta de los datos: justifica declaraciones ilegales, por ejemplo: no hay pájaros reptiles; y sostiene contrafactuales: si yo fuera un pájaro, no sería un reptil. Pero, ¿cómo se puede entender esto? Al apelar a la intertranslatabilidad de las nociones modales básicas, podríamos decir, que introduce una forma de necesidad: necesariamente, ninguna ave es reptil; pero, de nuevo, ¿qué forma es eso? ¿Qué fuerza tiene el adverbio "necesariamente" en “necesariamente ninguna ave es reptil"?

La necesidad en cuestión aquí, no es otra cosa que la irrevocabilidad que ya mencionamos: una vez que una cosa ha sido identificada como un pájaro, queda excluida para siempre de la gama de reptiles. Una frase como "a es un reptil" nunca tendrá que volver a considerarse: podemos tacharla y retirarla para siempre. Esto es lo    que lo convierte en un programa ciencias en atractivo: debe tallar la naturaleza en sus articulaciones analíticas; por lo tanto, la tarea es establecer lo que cae a cada lado de cualquier articulación en particular y, después de haber caído irremediablemente allí, nunca más se puede considerar como capaz de negociar la división entre los dos lados.

Una vez que se obtiene una definición adecuada mediante una selección juiciosa entre categorías contrarias, los humanos continuamos enfrentando de esa manera elecciones similares con otros objetos y establecemos la verdad definitiva y concluyente de su conclusión (suponiendo que las premisas sean verdaderas) exactamente de la misma manera. Considere uno de los siguientes argumentos:

(1) Todos los atenienses son griegos.

(2) Platón es ateniense.

(3) Por lo tanto, Platón es griego.

(1) - (2) traen otro conjunto de personajes: un individuo que no es Sócrates y cualidades que no son humanas ni mortales. Pero para la validez de (1) - (2), y para la verdad de (2) si las premisas son verdaderas, nada de eso importa: las premisas afirman las mismas relaciones de subordinación entre los términos relevantes, y eso es todo: no esperamos aprender nada sobre Platón que nos obligue a revisar esta conclusión. Las diferencias entre los distintos individuos y cualidades involucradas en los dos argumentos, si acaso, podrían distraernos de lo que hace todo el trabajo lógico en ambos; por lo tanto, es conveniente y aconsejable eludirlos y representarlos mediante símbolos simples, símbolos que, al no ser analizables, no tienen ningún significado. Los mismos símbolos para los términos en los dos argumentos que entran en esas relaciones cruciales de la misma manera, para obtener algo como lo siguiente:

(4) Todos son B.

(5) s es A.

(6) s es B.

Es por esta ruta que llegamos a otra característica importante de la lógica analítica: es formal. Que una lógica sea formal a menudo se explica diciendo que no tiene en cuenta el contenido de las oraciones y se concentra únicamente en su forma. Pero esto es confuso: las cópulas y cuantificadores (o conjunciones o adverbios, las partes del discurso en las que la lógica analítica tiende a enfocarse), que incluso a veces consideran palabras específicamente lógicas, son parte del contenido de una oración como los sustantivos y adjetivos lo son. Por lo tanto, la razón debe ser modificada: una lógica es formal si no tiene en cuenta parte del contenido de nuestras oraciones y se concentra solo en otro contenido similar, si lo considera legítimo y suficiente para sus propósitos ignora parte del contenido de la sentencia y no presta atención en sus conceptos. Dejar ir cualquiera de nuestros significados (conceptos) al hacer puntos lógicos es suficiente para calificar nuestra lógica como formal, es tanto como dejar ir cualquier significado de nuestra personalidad dentro de una relación con otra persona, es suficiente para calificar esa relación como formal.

(A) la lógica es una teoría normativa: no se ocupa de cómo las personas entienden el lenguaje o discuten entre sí; establece cómo las personas deben entender el lenguaje y discutir entre sí. Nos impone la racionalidad. Por lo tanto, una formulación modal de sus principios es intrínseca a ella. En la lógica analítica, aristotélica, la modalidad fundamental en la que se basa el otro es, el "no puedo" contenido en la definición de contrarios: hace que cada nueva sentencia, la última palabra sobre lo que significa algo (definitivo sobre él, juego de palabras intencionado, como con la conclusión de una conclusión), permite que los argumentos lleguen a resultados no revisados, son inferencias. Mucho ha cambiado en la lógica analítica desde Aristóteles; lo más importante, Gottlob Frege le agregó un tratamiento mucho más adecuado de las relaciones. Pero este aspecto esencial se ha mantenido intacto: la conclusión de un argumento como:

(7) Ningún hombre es su propio padre.

(8) Juan es el padre de Pablo.

(9) Por lo tanto, Juan no es idéntico a Pablo

es tan irrevocable como (7) o (8), cuál es el significado de la relación “ser padre de” (en oposición a la propiedad “ser el padre de Paul”, que es todo lo que Aristóteles podría hacer a juicio), cuando se analiza adecuadamente.

Se supone que una teoría “salva”, es decir, explica una serie de fenómenos y responde a esos fenómenos: tiene una moneda de cambio en la medida en que explica. En el caso de una lógica, los fenómenos que deben explicarse y responder a los límites de lo evanescente: no son, patrones comunes en el uso real de un lenguaje (que podrían determinarse mediante estudios empíricos y estadísticos); pero puede ser falaz como intuiciones de hablantes competentes sobre cómo se usa correctamente el lenguaje (es decir, intuiciones normativas, análogas a las que se supone que explica una gramática, ya que lo que podríamos llamar lógica manifiesta por tales intuiciones, es análoga a la gramaticalidad postulada por Noam Chomsky). La naturaleza casi evanescente de los datos hace que la adaptación de una lógica a su campo de aplicación sea especialmente plástica y hace que ese campo esté sujeto a una reglamentación lógica, y, sin embargo, sigue siendo válida tanto para una lógica, como para cualquier otra teoría, que algunos de los fenómenos en su rango se ven como casos naturales, casos en los que la teoría encaja perfectamente, mientras que otros parecen anomalías, recalcitrantes, fuentes constantes de confusión e irritación. 

El caso natural más obvio para la lógica analítica es la matemática; por lo tanto, no fue por casualidad que Galileo recomendó el estudio de las demostraciones matemáticas, no de los tratados de lógica, para volver competentes a las personas en lógica (como el teorema de Pitágoras), como siempre, la práctica hace al maestro; y la lógica a la que se refería era la analítica. Un número es necesariamente todo lo que es, y también lo es una figura geométrica, en el sentido de que “necesariamente" funciona en el contexto actual: cuando se prueba un teorema que establece alguna propiedad de un número, o de una figura geométrica, o alguna relación entre números o entre figuras geométricas, el teorema se convierte en parte del depósito permanente de verdades matemáticas, posiblemente para ser revisado en el futuro por una generalización o un refinamiento de su discusión, pero nunca se puede negar. La negación de un teorema matemático equivaldría a probar otro teorema distinto, en el sentido de que el anterior y su supuesta prueba estaban equivocados. No es sorprendente, entonces, que los objetos matemáticos y las verdades hayan funcionado de manera recurrente y autoritaria como arquetipos para todos los objetos y verdades respetables. En el ejemplo más extremo de esta deferencia a la finalidad analítica, las formas platónicas mostraron el mismo carácter inmutable que las entidades matemáticas, aunque apenas la misma capacidad fértil para generar un paisaje rico y, la lógica de Aristóteles resultó ser una vindicación de las intuiciones lógicas. Se pensaba que semejantes conceptos eran esencias, sentidos dados por Frege, noemata por Husser y otros especímenes variados (y exaltados) que han poblado constantemente textos filosóficos, aunque con la mayoría de ellos el parecido se debilitaba porque sus campeones no estaban preparados, ya que Platón, al declararlos los únicos objetos existentes y las verdades sobre ellos las únicas verdades existentes; por lo tanto, hubo que encontrar algún tipo de acomodo, con gran dificultad, entre ellos y las entidades menos respetables que consideraremos en breve.

Ahora atendamos las anomalías. Para empezar, las palabras comunes son ambiguas: la gran mayoría de ellas (de hecho, todas excepto las "técnicas y científicas“) tienen múltiples significados. Simplemente abra el diccionario nuevamente y busque cualquier palabra (incluyendo “lógica”), lo que va a encontrar, en la mayoría de los casos, es un párrafo de longitud variable, perfectamente organizado por números y letras (o viceversa) que indican divisiones y subdivisiones del significado de esa palabra. Cada subdivisión está destinada a informar una definición aristotélica de la palabra, por género y diferencia; pero, claramente, cualquier definición de este tipo está lejos de resolver, de una vez por todas, la contribución de la palabra a un discurso significativo. Aristóteles, que vio el tema desde el lado opuesto y, en lugar de ambigüedad, habló de homonimia (es decir, de diferentes cosas que tienen el mismo nombre), estaba extremadamente preocupado por este fenómeno, tanto que el primer párrafo de su corpus completo (el primer párrafo breve de las Categorías) es una definición de homonimia y, a partir de ese momento, la homonimia aparece constantemente en sus obras, junto con la mención de las medidas que deben tomarse para desactivarla. No es sorprendente, ¿cómo va a tener sentido si nunca está seguro de cómo se entenderá o debería entenderse lo que dice?

La preocupación no se ha ido. Ocasionalmente, se desdibuja cuando un filósofo se da cuenta de que lo que es verdad para Dios y a los humanos (que las mismas palabras aplicadas a uno y a los demás, palabras como "conocimiento", "voluntad" o "bondad") tienen diferentes, incluso inconmensurables significados, también pueden ser ciertos para humanos individuales: para cada uno de ellos, puede ser necesario un lenguaje específico para describir su experiencia, diferente e inconmensurable con el lenguaje  relevante para cualquier otra persona. En circunstancias menos extraordinarias, la preocupación pasa desapercibida, y las personas aceptan como un hecho de la vida, una molestia, pero aún con la que pueden vivir (o necesitan, ya que no tienen otra opción), que esos portadores de significados que se supone en las palabras se fragmentan regularmente en copias idénticas de sí mismas, y debemos pensar en ellas como indexadas por números o letras (o ambas, como en el diccionario), lo que pone de manifiesto ademas, la multiplicidad ontológica oculta bajo su aparente y engañosa similitud para referir a lo que existe y es verdadero. 

Luego, la preocupación se agudiza cuando alguien intenta por mano propia una búsqueda científica o filosófica que se beneficiaría de toda la precisión supuestamente otorgada por la lógica analítica, se encuentra incapaz de confiar en palabras que significan cosas diferentes para diferentes personas y se siente inclinado a presentar  nuevas palabras técnicas (es decir, inventadas) cuyos significados él legisla ejerciendo su propia autoridad y, por lo tanto, proporcionando una definición con la que nadie estará en condiciones de equivocarse. Pero la finalidad se adquiere así a bajo precio; y queda el problema de qué la relación (si la hay) exista entre este nuevo vocabulario establecido por un acto de voluntad y el que todos los demás continúan usando en su vida cotidiana, y el mundo cotidiano al que se refiere este último vocabulario. El problema, es decir, cómo esa búsqueda científica o filosófica, descrita como en un lenguaje completamente interno, podría ser relevante para todo lo que nos interesa.

La ambigüedad del discurso ordinario se ajusta al papel de una anomalía: señala una adaptación imperfecta entre la teoría aristotélica de la definición y los fenómenos que se supone que explica la teoría, las intuiciones lógicas de las personas acerca de cómo se entienden y usan correctamente las palabras. Y es una imperfección que no desaparecerá, a pesar de los esfuerzos concertados realizados repetidamente para desarmarla, lo que distingue el caso de una anomalía del problema que también podría surgir en una teoría. Un problema puede resolverse, y entonces ya no es un problema; una anomalía nunca se puede resolver, siempre se avecina en el horizonte y señala una insuficiencia; la única forma exitosa de lidiar con esto es mirar las cosas de manera diferente y pasar a una teoría diferente. Pero el compromiso con la lógica analítica es fuerte y profundo; por lo tanto, es difícil desalojarlo simplemente señalando una fuente particular, aunque insistente, de anomalía. Nuestra mejor opción, si queremos que las personas se interesen en buscar otras anomalías, es acumular varias fuentes de significados y, por supuesto, ofrecer esas otras opciones. Así que enumeraré aquí otras dos fuentes similares, que dan lugar a paradojas: a declaraciones más allá de lo creíble. Las palabras ambiguas, por supuesto, también se pueden usar para generar paradojas, por ejemplo, la presentada por el siguiente argumento:

(10) Cosas afiladas cortan.

(11) La nota A # es aguda.

(12) Por lo tanto, la nota A # corta.

Pero las personas piensan que pueden ver fácilmente a través de este “quaternio terminorum”, la "ilusión lógica" (término de Kant) que genera, y que una vez que ven la falacia involucrada en esto (Kant mismo diría), no van a ser engañados nuevamente (la ilusión se disipa para siempre). Las paradojas que voy a presentar ahora, por otro lado, no se resuelven tan cómodamente.

Comience con algo que parezca marginal y lo sea, pero no menos preocupante por serlo. Cuando bajamos del árbol de definición para encontrar humanos, llegamos a un nodo que requería elegir entre auto-movimiento y no auto-movimiento. Elegimos el primer curso y etiquetamos el resultado animal; si hubiéramos elegido de manera diferente, lo habríamos etiquetado como planta. Y de cualquier manera, nuestra elección habría sido definitiva: animal y planta son contrarios; ningún animal es una planta. Pero, de hecho, hay márgenes para estos dos contrarios; y Aristóteles los conocía. Era consciente, por ejemplo, de que es difícil decidir lo que deberíamos llamar anémonas de mar, ya que se parecen a las plantas por un lado y a los animales por el otro. Podríamos agregar otros ejemplos: ¿qué deberíamos llamar pacientes comatosos o fetos? Aquí, también, algunos podrían tratar de minimizar el problema y la preocupación que conlleva: sabemos que los leones son animales y que los perezosos son (folívoros) y, sabemos que los robles son árboles. Lo que sabemos en ese sentido es suficiente para que vivamos cómodamente en la mayoría de las situaciones ordinarias; ¿deberíamos emocionarnos demasiado e incluso contemplar cambiar nuestra lógica, debido al "caso especial" representado por las anémonas de mar?

Etiquetar algo como un caso especial, o una "excepción", es una estrategia, para evitar llegar a un acuerdo con lo que ese caso está exigiendo. Esta es la verdad importante transmitida por el dicho “la excepción prueba la regla": si estamos listos para reconocer alguna violación de una regla como una excepción, en lugar de evidencia de que la regla está equivocada, esto muestra que hay una poderosa influencia de la regla en nosotros. Entonces la excepción “prueba” la regla lógicamente, no empíricamente: a algo se le asigna el significado de una excepción, si confirma que a lo que se considera una excepción se le asigna el significado de una regla. Pero aquí, lo estratégico no funcionará, ya que la excepción tiene una tendencia desconcertante a revelarse como regla nueva.

No se trata solo de pequeñas anémonas de mar: de esas criaturas que son marginales. Todos los predicados que utilizamos en el lenguaje ordinario, incluidos los más centrales (que no sean marginales) para nuestras preocupaciones, tienen márgenes y, por lo tanto, no se pueden encapsular perfectamente en sus cajas. (Las criaturas marginales como las anémonas de mar son, por lo tanto, indicadores del destino de todas las criaturas). De hecho, los márgenes tienen márgenes, de tamaño indeterminado, un punto que se volverá relevante en breve. Todos los predicados que utilizamos son difusos o vagos: indeterminados hasta cierto punto.

Eubulides de Mileto, un filósofo del siglo IV a. C., miembro de la escuela megara y un poderoso adversario intelectual de Aristóteles, lo hizo evidente con sus célebres paradojas del hombre calvo y el montón: un hombre sin pelo es calvo; si se agrega un solo cabello a un hombre calvo, él permanece calvo; por eso todos los hombres son calvos. Un solo grano de arena no hace un montón; si agrega un solo grano de arena a algo que no es un montón, esta adición no lo convertirá en un montón; por lo tanto no existe el montón. Hay un margen indefinido entre montones y no montones, y entre hombres calvos y no calvos, que amenaza con tragar la diferencia entre los dos; y, lo que más cuenta, existe un margen similar entre dos cualidades vecinas: entre naranja y rojo, entre guerra y paz, entre hombre y mujer. Puede definir los dos términos de cualquier oposición todo lo que quiera; aún debe enfrentar el hecho de que a menudo sus definiciones no podrán decirle cuál es cuál. El montón y el hombre calvo se pueden generalizar a todos los predicados ordinarios, dando lugar a un tipo de argumento perverso y desconcertante que se llama en el lenguaje común una pendiente resbaladiza, y en la jerga filosófica un sorites.

El misterio de los predicados vagos ha perseguido la lógica formal (analítica) contemporánea durante décadas y, a pesar de los valientes esfuerzos realizados para resolverlo y el gran talento desplegado en tales esfuerzos, no se han realizado progresos. En un momento dado, parecía que las supervaloraciones podrían ser la solución: para cada predicado, tienen casos claros, para los cuales todas las valoraciones en la clase relevante coinciden en un valor verdadero y la supervaloración en ellos registra ese acuerdo; contra campos claros, para los cuales todas las valoraciones relevantes coinciden en un valor falso y también la supervaloración sobre ellos; y casos que no están del todo claros, donde las valoraciones relevantes no están de acuerdo y la supervaloración en ellos no registran ningún valor. Hay casos claros de cosas que son montones (o calvo, naranja o masculino), casos claros de cosas que no son montones, y casos de cosas para las que es difícil saber si son montones o no; y deberíamos dejar el montón de esos últimos indeterminados. Pero luego se señaló que hay una vaguedad de vaguedad: los márgenes tienen márgenes; el límite entre los casos claros y los que no son claros no es claro en sí mismo, y lo mismo ocurre en el otro lado; entonces esta estrategia colapsó. 

Otros intentaron conformarse con una lógica difusa que permitía infinitos valores de verdad en lugar de los dos habituales; pero, como Mark Sainsbury comentó^[1]: "no se mejora una mala idea repitiéndola": habrá exactamente la misma dificultad para negociar la frontera entre cualquiera de los infinitos valores de verdad vecinos permitidos como estaban con los dos originales. E incluso hubo quienes, al distinguir la metafísica de la epistemología, efectivamente levantaron las manos desesperados alegando que existe una clara distinción entre calvo y no calvo, pero no sabemos lo que es. Entonces, la anomalía (porque eso es lo que es) está aquí (es decir: dentro del rango de la lógica analítica) para quedarse. Podemos establecer artificialmente (o, una vez más, técnicamente) límites exactos para que se apliquen ciertos predicados: podemos decidir, por ejemplo, que se requiere un cierto puntaje exacto del CENEVAL para ser admitido en una determinada universidad, un cierto número exacto de días para ser considerado pasante de licenciatura, o un cierto número exacto de delitos menores para que el próximo se convierta en un delito grave; pero esa decisión siempre la sentirán algunos como una imposición arbitraria (como dependiente del arbitraje o acto de voluntad de alguien, lo que sucede con todas las definiciones técnicas), y en todos los demás casos, fallando movimientos arbitrarios similares, las fronteras entre predicados seguirán siendo confusas y la firmeza prometida por las definiciones analíticas será un espejismo. Serán anémonas de mar hasta el fondo de los tiempos.

Los números no están en el espacio y el tiempo y, aunque las figuras geométricas tienen espacialidad (que también está fuera del tiempo), no los encontramos en el espacio físico que habitamos: son tan abstractos (es decir, separados) del paisaje concreto, espacio-temporal, donde llevamos a cabo nuestros tratos ordinarios como son los números (la espacialidad misma es para ellos una cualidad abstracta). También lo son las formas platónicas, los conceptos, las esencias y todos los otros seres que enumeré anteriormente y a los que se aplica la lógica analítica de la manera más obvia, directa y natural. Por una buena razón: lo que está en el espacio y el tiempo pasa por cambios, desde ser determinado de ciertas maneras hasta ser determinado de otras maneras; por lo tanto, es probable que contradiga las determinaciones irrevocables afirmadas por esa lógica. En esta área, entonces, vamos a encontrar nuestra tercera anomalía principal: entre los continuos espacio-temporales.

Tomemos a Sócrates a los cinco años de edad. Tiene varias cualidades, y puede usar algunas de ellas para distinguirlo de cualquier otro niño de la misma edad y de cualquier adulto; puede, basándose en esas cualidades, dar una definición de él. Luego tome a Sócrates nuevamente a la edad de 70 años, tal vez mientras participa en su juicio. Todas las cualidades que tuvo de niño, y que de niño lo distinguieron de cualquier otra persona, ya no existen; la mayoría de las cualidades que tiene ahora son incluso los opuestos de las cualidades que tenía en aquel entonces; la definición que usted proporcionó de Sócrates hace tantos años ya no son aplicables; y, sin embargo, es la misma persona: es idéntico al niño de cinco años que alguna vez fue.

¿Cómo puede ser? ¿Cómo puede alguien, o algo, tener tan poco en común con lo que él era y aún mantener su identidad? ¿Cómo puede la nave de Teseo, después de que cada tablón de madera que lo constituyo haya sido reemplazado por uno nuevo, seguir siendo la nave de Teseo? ¿Qué pasaría si hubiera otro barco del que vinieron todos los tablones nuevos, y no hubo un reemplazo simple sino un intercambio entre los dos barcos, y al final cualquiera de los dos estaba constituido exactamente por los tablones que una vez constituyeron el otro, y aún así los pensamos como una referencia adecuada. ¿Nunca por un momento perdieron su identidad y su distinción el uno del otro?

Aristóteles se enfrenta a este problema en el Libro VII de la Metafísica, pero no llega demasiado lejos. Su enfoque general es afirmar que hay una esencia de Sócrates que permanece sin cambios mientras Sócrates existe, y que está constituida por todas las cualidades que, de hecho, son esenciales para él; la colección de esas cualidades determinaría la identidad de Sócrates, lo que es ser Sócrates. Pero las únicas cualidades esenciales para Sócrates, en el esquema aristotélico de las cosas, parecerían ser animales y racionales, y aparte del hecho de que la mayoría de nosotros todavía reconoceríamos a Sócrates como él mismo si perdiera su mente.

Una vez más, se han realizado valientes esfuerzos para entender esto como un problema y resolverlo. Algunos pensaron en introducir esencias individuales, constituidas por las mismas cualidades pero con un solo número distinto, parece ser: que el estado de estas entidades no se explica, aparte de decir que admitirlas resolvería el problema. Locke propuso que la memoria, no la esencia, sea un criterio de identidad personal; pero Kant señaló, con un simple experimento mental, que la continuidad funcional de la memoria no hizo nada para justificar lo sustancial (metafísico) continuidad^[2]. Otros dividieron los continuos del espacio-tiempo en segmentos de tiempo (instantáneos), lo cual fue muy bueno en lo que respecta a la división (la lógica analítica, como es de esperar, tiene su tiempo más fácil para analizar cosas) pero se convirtió en una pesadilla cuando uno tenía que explicar por qué esos segmentos de tiempo particulares, y ningún otro, tendrían que unirse para establecer con precisión lo que entendemos intuitivamente como los límites de la vida de un continuo de espacio-tiempo particular.

En la lógica dialéctica de Hegel, los argumentos nunca llegan a su fin, y continuarlos a menudo tiene como resultado consecuencias contrarias a lo que se probó anteriormente: al continuar un argumento que prueba la mortalidad de Sócrates, podemos terminar demostrando su inmortalidad. Dado que ni siquiera la contrariedad puede determinar diferencias radicales, quienes razonan de acuerdo con esta lógica (como el propio Hegel) tienden a negar tales diferencias y a pensar en la historia mundial como una narrativa única conectada; tienen una tendencia al monismo. Pero tenga en cuenta que, en la medida en que la palabra "narrativa" sugiere un desarrollo temporal, esta sugerencia debe ser resistida: que una cosa sigue a otra en el tiempo todavía debe explicarse lógicamente; la historia misma debe pasar de la crónica a la demostración. El tiempo nos presenta la inmediatez del desarrollo dialéctico; pero esta inmediatez debe ser redimida por mediación conceptual; los parámetros de tiempo son pagarés que deben pagarse al proporcionar una cuenta de por qué ciertas cosas no solo siguieron sino que tuvieron que seguir ciertas otras cosas, momento en el cual los parámetros de tiempo se pueden prescindir.

1. La lógica clásica

La lógica es una metodología universal para la creación de conocimiento. La lógica es un recurso axiomático presente en nuestros genes^[3]. Es un recurso universal de nuestra especie para hacer el lenguaje, la ciencia, la filosofía, la poesía…, su origen de estudio se remonta a los trabajos de Aristóteles. La ciencia es una disciplina apoyada en la lógica, que no da nada por sentado, y en la que los estudiantes son entrenados para desarrollar una actitud crítica hacia cualquier tipo de juicio. Este es un curso  introductorio a la lógica, al espacio para discutir, argumentar, criticar o debatir. La lógica usualmente se enseña como un curso de matemáticas, sin embargo, en los últimos 30 años su progreso converge en los lenguajes de la inteligencia artificial, en la lingüística literaria, en la mecánica cuántica, en lo genómico, en la biología transcripcional y en muchas áreas de otros campos. Esto se debe a los trabajos realizados por Gödel, Frege y Alan Turing. La lógica moderna, es un cuerpo rico de conocimientos teóricos matemáticos, con una interpretación y aplicación específica. En particular este curso tiene una cierta orientación a la lógica propositiva y la lógica de predicados. El término lógica analítica también se le conoce como la lógica estándar o clásica. 

¿De qué estamos hablando cuando referimos a la lógica? La palabra lógica se utiliza de muchas maneras, es una palabra ambigua. Tenga en cuenta, que cuando se estudia lógica, una persona puede estar estudiando la lógica de primer orden de Frege-Russell, otra persona puede estar estudiando silogística aristotélica o tal vez lógica informal y pensamiento crítico. Pero no es todo, se puede estar estudiando la lógica doxástica y epistémica en la escritura creativa, la lógica de compuertas lógicas en el diseño de microprocesadores digitales o lógicas difusas, para automatizar procesos industriales.

La lógica es un término que se ha empleado generalmente más o menos indistintamente para designar teoría, así como de lo que retrata la teoría y, además, también para nombrar varias de sus aplicaciones. Para muchas disciplinas, estos aspectos se distinguen lingüísticamente, aunque las distinciones van desde estructuras de unas pocas letras, hasta diferentes categorías en la gramática.

Considere la distinción entre el cuerpo de conocimiento de una disciplina A y las Imag1 de A. El cuerpo de conocimiento incluye declaraciones que son respuestas a preguntas sobre el objeto de estudio de A, así como teorías, hechos, métodos y problemas abiertos. Las Imag1, por otro lado, son declaraciones cognitivas y normativas sobre la disciplina que sirven como principios rectores tanto para planear, como para responder preguntas que han surgido dentro del cuerpo de conocimiento y, que normalmente no forman parte del cuerpo del conocimiento. Tales declaraciones pueden determinar qué problemas deben considerarse más pertinentes y urgentes, lo que cuenta como un experimento pertinente (demostración o justificación). La imagen también contiene puntos de vista normativos sobre qué procedimientos, individuos o instituciones tienen autoridad para resolver los desacuerdos dentro de la disciplina y cuál debe ser el plan de estudios adecuado para educar a la próxima generación de la comunidad disciplinar.

Sobre la diferencia entre la disciplina y las Imag1, podemos argumentar que las matemáticas son reflexivas, en el sentido de que pueden formular y probar declaraciones sobre sí mismas dentro del cuerpo matemático de conocimiento; es decir, ciertas partes del cuerpo de conocimiento de las matemáticas pueden ser Imag1 de las matemáticas y viceversa. Entonces, ¿podría ser el alto grado de reflexividad en matemáticas y su posibilidad, la lógica que explique la dificultad para mantener la teoría y el objeto de estudio claramente separados?

La reflexividad en este sentido, es sin duda una noción interesante, y estudiar su posibilidad en su aplicación en el caso de la lógica valdría la pena. Sin embargo, parece de poca ayuda para explicar la confusión entre teoría y objeto disciplinar en la lógica. Es un hecho innegable que hay muchas lógicas, la estándar, la intuicionista, constructivista, paraconsistentes, libres y muchas más. Una analogía es la geometría. En la geometría hay un dominio de objetos geométricos tales como puntos, curvas, ángulos, distancias, dimensiones; se pueden caracterizar por diversos principios y podemos estudiar estos objetos por diferentes intereses matemáticos. De esta manera, se pueden encontrar a las geometrías euclidianas que satisfagan ciertas suposiciones tradicionales sobre objetos geométricos, por ejemplo, que los ángulos internos de un triangulo sumen 180º. Sin embargo, también se pueden encontrar geometrías no euclidianas en donde esta suma de ángulos internos sea distinta y además, que las paralelas se unan en el infinito. Hasta el siglo XIX, la geometría solo significaba geometría euclidiana, pero a mediados de ese siglo se discutió la geometría en otras posibilidades. Aunque en su momento estas geometrías alternativas no se consideraron viables para el espacio físico, parecían tratar con al menos algún tipo de líneas, puntos y otros objetos que parecían análogos a los de la geometría euclidiana.

Riemann se dio cuenta de que no podría preguntarse si alguna de esas teorías geométricas, si se interpretan en consecuencia, podrían aplicarse al mundo físico, si es  que hay algo como la geometría real del universo. La mera deducción de las consecuencias de los principios no basta para establecerlos, ya que se necesitan interpretaciones empíricas adecuadas de muchos principios para aplicar las geometrías a un mundo no tan prístino. La corrección de una geometría parece ser en gran medida una cuestión empírica. Casi cincuenta años después del trabajo de Riemann, la Teoría General de la Relatividad postuló una conexión entre la masa y la curvatura del espacio-tiempo que implicaba que el espacio puede tener una curvatura distinta a cero relacionada con la materia energía, y por lo tanto, esta resulto no ser euclidiana. Las predicciones de la relatividad general fueron confirmadas por la experimentación y la teoría es ahora generalmente aceptada como correcta.

Estos desarrollos en geometría dieron lugar a una distinción crucial, a saber, que entre la geometría pura y aplicada en particular, y entre las matemáticas puras y aplicadas en general. Las geometrías euclidianas y no euclidianas, aunque son mutuamente incompatibles, se pueden estudiar en pie de igualdad como teorías matemáticas puras. 

¿Puede abordarse la situación lógica de manera similar, dar sentido a la pluralidad de la lógica y la doble naturaleza de la lógica como teoría y como objeto de estudio, como pura y como aplicada?. La lógica pura sería una especie de estructura matemática. Una lógica no pura es un fenómeno con una estructura lógica. Esto constituye a los argumentos de la vida diaria: el flujo de electricidad en circuitos, el funcionamiento de un programa informático. Aunque el flujo eléctrico tiene una estructura lógica, no es un objeto canónico del estudio de la lógica y por eso cuenta como fenómeno lógico no canónico.

En resumen, comenzamos con el término lógica utilizado a menudo sin distinción para designar una teoría, así como para designar al objeto al que estudia. En la ciencia “lógica”, se ha utilizado también para nombrar al razonamiento correcto, así como para nombrar los temas de dicha ciencia dentro de las normas que rigen el razonamiento correcto en la ciencia. En la lógica pura es común usar los adjetivos geometría y aritmética. Así el estudio de la lógica pura podría llamarse “lógica universal^[4]”. La mayoría de las veces en este texto emplearemos el término lógica designando a la lógica aplicada canónica, a menos que especifiquemos lo contrarío, ya que la mayoría de las discusiones más interesantes que rodean a la lógica pertenecen a su lado canónico, se aborde como teoría o como un objeto. 

Tradicionalmente la lógica da cuenta de la validez que tienen que exhibir y explicar ciertas estructuras:

Preservar la verdad. Si un argumento es lógicamente válido, la verdad de las  premisas garantiza la verdad de la conclusión.

Necesidad. Que las premisas implican a la conclusión como algo necesario.

Formalidad. En los argumentos lógicamente válidos, la formalidad es la virtud de su forma lógica.

Apropiación. Lo lógico es conocido a priori.

Universalidad. Un argumento lógicamente válido, es válido en todos los dominios de consulta. 

Normativo. Rechazar un argumento lógicamente válido, es de alguna manera irracional.

La formalidad puede significar al menos cuatro cosas^[5]: 1) la lógica proporciona normas constitutivas para el pensamiento como tal; 2) la lógica es indiferente en cuanto a las identidades particulares de los objetos: 3) la lógica se abstiene enteramente del contenido semántico del pensamiento; 4) la lógica es esquemática. La lógica empírica, puede significar: los argumentos válidos son así por razones no empíricas; la lógica sirve para organizar nuestras consultas conceptuales; la lógica o un argumento lógicamente válido, no puede ser refutado por razones empíricas, a lo sumo solo no tiene referencia con lo real. 

La lógica ontológica moderna de la ciencia, rechaza a la analogía, como simetría del lenguaje con la realidad. El desarrollo similar entre la geometría y la lógica no son suficientes para que la epistemología reivindique a una analogía como esta en asuntos importantes del saber, su respectivo tratamiento es cuestión de la naturaleza de las teorías involucradas o la caracterización de su contenido. Nuestra idea no es centrarnos en lo símil reflejado entre la geometría y la lógica, sino en la distinción entre la lógica pura y aplicada. Argumentamos que si bien hay muchas geometrías y también muchas lógicas, esto no las vuelve una analogía:

• En geometría se da por sentado que hay una distinción entre geometría pura y aplicada (o física). 
• Formalmente, todas las geometrías son correctas o ninguna puede ser formalmente equivocada porque son consistentes, pero, podría haber una geometría física correcta.

Debe quedar claro cuando estamos significando a la lógica como teoría, se está discutiendo la corrección y otras propiedades de las teorías^[6]. Todo sistema que merece el nombre de lógica aplicada, debe satisfacer, entre otras cosas, el requisito de tener una interpretación que no es solo un modelo matemático para un cálculo abstracto, ni cualquier cosa que satisfaga algunos axiomas, sino una interpretación que involucra conceptos como sentencias (u otra entidad lingüística), inferencias, argumentos, así como conceptos de significado o verdad de las sentencias en referencia al mundo real. Las meras teorías matemáticas, es decir, las lógicas puras, no implican ningún concepto de este tipo. De acuerdo con esta distinción, las lógicas de las disciplinas son esencialmente aplicadas e identificadas con su aplicación canónica. 

Se suele argumentar, que incluso si suponemos que hay lógicas puras siendo todas formales correctas, seguiría siendo falso que solo haya una lógica aplicada por derecho. Hemos pensado que hay muchas lógicas correctas. Incluso la mera posibilidad de que más de una lógica sea correcta, es suficiente para que consideremos que la lógica es esencialmente diferente a la geometría. Para desarrollar una lógica, es necesario que se emplee una mecánica lógica presistemática (idea preexistente de lo que es la lógica que determina los principios reglamentarios, criterios de la lógica: precisión, exactitud, economía, simplicidad, coherencia y consistencia). La presistemática sería una serie de ramas especializadas del conocimiento, que serían un instrumento general para realizar el conocimiento en todas sus ramas.

Por lo tanto, los sistemas lógicos serían las sistematizaciones de las prácticas presistemáticas del razonamiento, consideradas normativamente. En otras palabras, para desarrollar un sistema lógico, es necesario tomar la idea de criterios preexistentes, mientras que para el desarrollo de una geometría no la necesitamos y además no hay nada como geometría presistemática. Entonces, implica que la elección de los criterios entre alternativas, nos dará una lógica muy distinta. 

Canónicamente el monismo lógico refiere a la tesis de que solo hay una teoría lógica correcta sobre el razonamiento correcto y el pluralismo geométrico aplicado es mucho mas defendible. Si los modos de inferencia legítima varían de un dominio a otro, debe haber un núcleo común determinado para la intersección de todas las lógicas. Esa validez seria la lógica correcta porque sus leyes serían válidas en todos los dominios e independientemente de cada dominio. Es posible que esta intersección esté vacía. En cuanto al pluralismo de las geometrías, a menudo se sostiene que las diferencias geométricas son apropiadas para diferentes contextos en la física, la química, la biología y la criptografía. 

La articulación de un sistema lógico requiere una lógica presistemática (basada en la intuición), es decir, una lógica descriptiva, donde su base de conocimiento esta dada por dos elementos: 1) la terminología o vocabulario (clases o conjuntos de elementos), relaciones binarias entre los elementos y 2) un conjunto de descripciones complejas acerca de los elementos; estos son equivalentes a el conjunto de axiomas de una lógica de primer orden. La lógica presistemática esta dada por conceptos, roles, elementos y constructores; algunos la refieren como una lógica natural.

Necesitamos algunos conceptos teóricos y notación para adentrarnos un poco más. Un conjunto es una colección de cosas, llamadas sus elementos, de tal forma que ninguna otra relación más allá de su pertinencia a él, la identidad y la diferencia entre ellos es importante para determinar al conjunto. En particular, ni el orden ni el número de veces que cada elemento aparece en él importa. Si el número de veces importa, tenemos un multiconjunto; si el orden también importa, tenemos un listado o una cola. Por lo tanto, cada uno de los cuales ocurre solo unas veces en un rango finito. Usaremos objeto para referirnos indistintamente a un conjunto, un conjunto múltiple o una lista. Usamos para referirnos a que x es un elemento del objeto X o que pertenece a X. Usamos , para decir la unión de “X” y “Y”, todos los elementos del primero están en el segundo objeto o solo aquellos que están en X y Y. Usamos , para la intercepción de X y Y, es decir, para el conjunto que contiene todos y solo aquellos que pertenecen a ambos objetos X y Y. Por último, usamos el conjunto vacío , para decir el único objeto sin miembros más que el vacío.

Un mapa es una relación de dos objetos X y Y, en ese orden, llamados el dominio y condominio del mapa, denotado por la implicación , de modo que cualquier elemento de x en el dominio corresponde a uno y solo a uno en el condominio, a menudo denotado como . 

Las listas deben preservar el orden entre los elementos, es decir, si el orden entre los elementos de la lista X, a y b pertenecen a ella y son tales que entonces . Aunque el dominio y el codominio pueden ser diferentes tipos de objetos. Cuando estamos considerando conjuntos, a un mapa se le llamará función. 

Algo típico de un primer paso en la lógica, es una interpretación de un lenguaje formal L como un mapa de L por v, una función que asigna valores de verdad. Ahora podemos dar los conceptos básicos de una representación de un modelo teórico de una lógica. Las tablas de verdad, ocultan, por así decirlo, muchos de los componentes de los modelos utilizados para caracterizar a tales lógicas, pero también hay lógicas que se nos presentan como tablas de verdad, como el caso de la lógica de primer orden, la lógica intuitiva o las lógicas modales. 

Un modelo teórico de una lógica se puede caracterizar por una estructura de la forma Donde las duplas para , son en L un modelo para L. La explicación aproximada de cada componente es la siguiente.

L es sinónimo de nuestro lenguaje formal. Los lenguajes formales que vamos a considerar aquí son un conjunto no vacío de formulas recursivas, definidas usualmente como vocabulario formal fijo cuyos bloques  son:

• Conjuntos de términos (constantes, variables y funcionales.
• Conjuntos de conjuntos n-esimos para cada número natural. 
• Conjuntos de conjuntos n-esimos conectores, que incluyen cuantificadores para cualquier orden m: negación , conjunción , disyunción , condicionantes , bicondicionantes , necesidades , posibilidades , cuantifacdores universales cuantificadores particulares (existenciales) …

• p, q, r… se utilizan como variables atómicas (sentencias) dentro de fórmulas con conectores.
• se emplean como variables genéricas de términos.
• x,y,z… se emplean como variables genericas.
• a,b,c… se emplean como variables genéricas de constantes.
• f,g,h,v… se emplean para variables genericas.
• F,G,H… se emplean para predicados genéricos dentro de contracciones de fórmulas.
• P,Q,… se emplean como fórmulas genericas. 

La mayoría de los lenguajes tendrán solo una de cada tipo de conexión, pero algunos de ellos pueden tener más de una negación, conjunción o condicional.

W contiene los índices de asignación. Esto son los casos en los que las fórmulas se evalúan o se les asigna un valor semántico. Al hacer lógica modal, el estándar llama al índice, evaluaciones mundos posibles. 

R contiene un conjunto (posiblemente vacío) de relaciones entre los índices. Su función se puede explicar, a veces como el valor semántico de una fórmula en un índice que se calcula utilizando los valores que obtienen sus compuestos en otros índices. Para realizar un seguimiento de estas conexiones, uno necesita las n-esimas relaciones entre índices; estos son los elementos de R. Si continuamos con el ejemplo de lógica modal, es la evaluación estándar mediante relación binaria. Por lo tanto, si definimos una lógica modal, esperaríamos conectar una relación binaria para cada modalidad  que se esté considerando.

D, es el elemento dominio de la función. Para cada tipo de cuantificador Q en L; D asigna una clase adecuada de objeto a cada . En la lógica modal es el primer orden de dominio de cuantificación, D es la función que asigna cada mundo posible la clase de objeto que existe en ese mundo.

V, contiene el conjunto de valores de verdad. Es un estándar asumir que estos se ordenan de alguna manera y comúnmente se supone que contienen el al menos un valor llamado falso denotado y un valor verdadero denotado con . 

K, es una familia de subconjuntos de . Tomamos cada elemento de K una especie de valor semántico. Desempeña un rol K en la definición de diferentes nociones de consecuencias lógicas o validez. Generalmente es una función v, que asumimos que contiene elementos V de un conjunto de valores designados, escritos y un conjunto de valores antidesignados, escritos como . También asumiremos que el conjunto de valores designados cumple las siguientes condiciones:

• 
• para cada , si y , entonces . Donde este símbolo refiere “no es menor que”.

Y también asumimos que el conjunto de valores antes designados cumple las siguientes condiciones:

• Hay un de tal manera que , . Llamemos falso a x y denotamos ,.
• para cada , si y , entonces .

C, contiene las relaciones de verdad requeridas. Cada una de ellas es una relación entre las construcciones sobre el conjunto de valores verdaderos y otro conjunto de valores verdaderos, y cada uno desempeña un papel en la evolución de fórmulas complejas. Para decir más, ayuda a considerar el ejemplo de los conectores habituales: 

Recuerde que negación , necesidades , posibilidades son unarias; y la conjunción , disyunción , condicionantes y bicondicionantes son conexiones binarias. Se dice que todas estas conexiones son de orden cero, porque no requieren cuantificadores sobre individuales o conjuntos de ellos. Por lo tanto, para cada unario conectivo u en L, habrá un elemento en C de la forma , mientras que para cada conector binario b en L, habrá un elemento en C de la forma .

Los cuantificadores también se considerarán conectivos unarios, esta vez de orden mayor a cero. Así que los cuantificadores vienen en una variedad de formas: primer, segundo, tercer orden o superior. Los cuantificados de primer orden cuantifican a los elementos, los de segundo orden a los conjuntos, los de tercer orden a los conjuntos de los conjuntos. Por lo tanto, corresponden los de primer orden en L habrá una función de la forma en C correspondiente a cada cuantificador de segundo orden  s, con función así sucesivamente para .

El siguiente elemento general de una lógica es , es la función denotación. Específica recursivamente la denotación de cada término en cada . Para ello, asigna primero una función adecuada a cada símbolo de función f y la asignación de un elemento apropiado para cada termino t. Por apropiado en cada caso nos referimos al tiempo de naturaleza de dato del término/función. En los lenguajes informáticos corresponden funciones enteras a números enteros, funciones de punto flotante a decimales, funciones tipo cadena a concatenaciones de símbolos y así sucesivamente. También tomamos el termino para la asignación de una denotación a cada termino t en cada por el siguiente procedimiento recursivo:

Si t es una constante o variable, entonces es lo que se asigna a t. 

Si f es un símbolo de función de n-esimos símbolos y son los términos, entonces  .

Finalmente el último elemento , es una función de evaluación. Asigna un valor en cada a cualquier parámetro proposicional en L. También asigna a cada predicado n-esimo P y indice w, una función . Esto es suficiente, junto con la información especificada anteriormente, para extender recursivamente a una función de para V.

Probablemente hay algunas cosas aquí a saber como los operadores min, max, informó y sub que no son familiares para muchos lectores. Explicaremos brevemente lo que significan; primero, sin embargo, recuerde que hemos asumido que los miembros de V son ordenados de alguna manera. Vamos  escribir para esa orden se lo que sea. La idea básica es que usando este orden, podemos hablar de elementos menores (min), los elementos máximos (max) y los mayores límites inferiores (inf) y superiores (sup). Más explícitamente, 

Si X es un subconjunto de V, entonces decimos que :

para todo y

Si para todo , entonces .

Si X es un subconjunto de V, entonces decimos que :

para todo y

Si para todo , entonces .

1.2 Lógica estándar

Una vez que hemos distinguido entre lógica como teoría y como objeto, la distinción pura y aplicada viene casi naturalmente. Si existiere un estándar de la historia de la lógica, quizá entonces tendría tres piezas:

Definición de consecuencia lógica: es una consecuencia lógica, sí y solo si es imposible que cada sentencia de en su valor sea verdadera.

Asunción de consistencia: es imposible que una sentencia sea simultáneamente verdadera y falsa.

Suposición de integridad: es imposible que una frase no sea verdadera ni  falsa.

Desde una perspectiva lingüística. Nosotros llamaremos lenguaje L, al vocabulario completo de L consistente en:

• Variables propositivas p, q, r…
• a,b,c… nombres o objetos
• Proposiciones P, Q, R… premisas o sentencias
• Cuantificador universal para todo
• Cuantificador existencial
• Condicional material (sí… entonces) o implicación
• La unaria conectiva o negación
• La binaria conectiva ; “and” y “or”
• Paréntesis y corchetes ()[]
• no es miembro de
• secuente o conclusión

El conjunto de sentencias de L se establece por las siguientes reglas:

El conjunto de sentencias de L se establece por la reglas:

• Cada variable propositiva es una sentencia. A estas las llamamos sentencias atómicas de L.
• Si Q es una sentencia, entonces también lo es .
• Si Q y son sentencias, entonces lo son también y .

Es costumbre, tomar como para significar “not” (negación), tomar para significar “and” (y) y tomar para significar “or” (o). Es decir, tomamos las condiciones de verdad y falsedad para estos conectivos de la siguiente manera:

• La sentencia es verdadera sí y solo si Q es falsa.
• La sentencia es falsa sí y solo si Q es verdadera.
• La sentencia es verdadera sí y solo si Q es verdadera y es verdadera.
• La sentencia es falsa sí y solo si al menos una de las Q y es falsa.
• La sentencia es verdadera sí y solo si al menos una de las Q y es verdadera.
• La sentencia es falsa sí y solo si Q es falsa y es falsa.

Con estos enunciados reconocidos en nuestro camino, ahora apodemos ver que la historia estándar de la lógica, que nos habla de la lógica de L, es una consecuencia de los criterios preexistentes para su desarrollo. La consecuencia, la consistencia y la integridad, resultan en las suposiciones que dan forma a la lógica de primer orden. 

La primera, la consecuencia lógica es la definición de mayor potencia de las tres citadas, se define en términos de imposibilidad: (conclusión) es una consecuencia lógica de (premisas) sí y solo si es imposible que cada premisa que verifica el valor de la sea verdadera, mientras que cada sentencia en no es verdadera. 

Hay dos cosas que valen la pena comentar acerca de esta definición. La primera es que nos dice, cuál es el tema de la lógica: la lógica se trata de consecuencias lógicas (inferir conclusiones), que se definen en la primera de la suposiciones estándar . Esta visión de la lógica se ha mantenido sorprendentemente desde la antigüedad hasta la era moderna.

A lo largo de gran parte del siglo XX, la concepción predominante de la lógica fue la heredada de Frege y Russell, una concepción según la cual el tema principal de la lógica, es un cuerpo particular de verdades: en primer plano la álgebra aritmética y en el segundo la geometría…, esta distinción de la lógica nos parece ahora bastante extraña, de hecho como algo de una anomalía en la historia de la lógica. Ya no se considera que la lógica tenga un cuerpo de verdades como su principal preocupación, no la consideramos como algo paralelo a otras disciplinas matemáticas. En todo caso, consideramos que la relación de consecuencia lógica (la conclusión) es en sí misma el tema principal de la lógica y, consideramos la verdad lógica como simplemente el caso degenerado de esta relación: las verdades lógicas son las que se deriven de cualquier conjunto de suposiciones (premisas) o alternativas^[7]. 

La segunda definición estándar, la consistencia. Es un componente clave en la transmisión de la verdad, y es también componente principal de lo que trata la lógica. Pero la definición, deja abierta la cuestión de decir exactamente qué son las posibilidades. Parece que esto podría ser un asunto sutil. Es razonable, por ejemplo, preguntarnos si las posibilidades, sean cuales sean, necesitan ser completas, es decir, si necesitan describir, en cierto sentido, un mundo completo, donde todo los hechos están resueltos. Otra pregunta a responder, es si las posibilidades deben ser consistentes  (coherentes).Si nos atenemos a la historia estándar de la lógica estas preguntas ya fueron respondidas por otros. 

La suposición de integridad nos dice que las posibilidades lógicas están completas. La suposición de consistencia nos dice que las posibilidades lógicas son consistentes. Y, dado que la historia estándar no nos obliga a hacer ninguna otra suposición, una primera puñalada natural en una definición de posibilidad lógica es la siguiente:

Definición de intento: una posibilidad lógica es una forma de etiquetar algunas sentencias en nuestro lenguaje como verdaderas, al etiquetar todas (y solo) las otras como falsas, de modo que:

1) La sentencia está etiquetada como verdadera sí y solo si Q está etiquetada como falsa.

2) La sentencia está etiquetada como falsa sí y solo si Q está etiquetada como verdadera.

3) La sentencia está etiquetada como verdadera sí y solo si P está etiquetada de verdadera y Q es etiquetada verdadera.

4) La sentencia está etiquetada como falsa sí y solo si al menos una de P y Q es etiquetada falsa.

5) La sentencia está etiquetada como verdadera sí y solo si al menos una de P y Q es etiquetada verdadera.

6) La sentencia está etiquetada como falsa sí y solo si P es etiquetada de falsa y Q es etiquetada falsa.

Semántica formal L

Esta definición de posibilidad lógica sugiere una forma natural de construir una semántica formal matemática L. Es preciso para iniciar, digamos que un modelo L es simplemente una función v desde el conjunto (T para verdad y falso) que obedece a algunas suposiciones. Los modelos jugaran el papel de las posibilidades en nuestra semántica L. La toma de las funciones de los modelos los obliga a comportarse de acuerdo con la primera parte de la definición de posibilidad: un modelo (posibilidad lógica) es una función v de asignación exactamente de los estados semánticos T verdadero y falso a cada sentencia. 

Definición: Una función es un modelo si y solo sí cumple los siguientes supuestos:

• sí y solo si .

• sí y solo si .

• sí y solo si y .

• sí y solo si y .

• sí y solo si y .

• sí y solo si y .

Así que hemos dado un modelo teórico de 9-tuplas para una Lógica. En primer lugar, recuerde que uno de los elementos de nuestras lógicas de conocimiento era un conjunto K subconjunto de valores semánticos V. Digamos que K corresponde a tipos de valores semánticos. También asumimos que K se tomaría para contener un conjunto de valores asignados y un conjunto de valores antidesignados. En términos generales, el conjunto de valores designados es el conjunto de formas de verdad, mientras que el conjunto de valores antidesignados es el conjunto de formas de ser falso. Con esto en mente, podríamos decir que la validez lógica de un argumento es cuando es preciso preservar la verdad y en cualquier caso se denota como:

sí y solo si siempre que , para todo , también .

Esto nos da un cálculo de validez para un argumento cuando transmite la verdad de sus premisas a la conclusión. Podríamos decir que una fórmula es satisfecha sí y solo si existe un modelo en el que . O podemos decir que un conjunto de formulas es satisfecho sí y solo si hay un modelo en el que por cada , es decir, sí y solo si todos pueden ser verdaderos simultáneamente de alguna manera. Esperamos que quede claro este proceso de validez, dada su importancia en el razonamiento correcto.

Ahora podemos dar una cuenta matemática precisa de las consecuencias formales de L de la siguiente manera; sigue semánticamente de las sí y solo si no hay modelo v tal que por cada , pero por cada . Cuando esto sucede, nosotros escribimos (las premisas no son miembros del conjunto de conclusiones). Puesto que esta es la consecuencia que obtenemos cuando sacamos las suposiciones estándar, llamamos a esta lógica clásica para L. 

El marco teórico de la demostración lógica proporciona recursos para analizar las secuentes lógicos como un concepto de procedimiento. En la tradición demostración teórica, la consecuencia lógica se entiende como algo más epistémico y robusto que la mera preservación de valores sobre una clase de modelos, y el principal objeto de estudio de la lógica es el razonamiento correcto escalonado de las premisas a las conclusiones. Este enfoque implica tomar en serio la idea de considerar las propiedades estructurales de las demostraciones como parte integral del concepto de consecuencia lógica. Esto no es necesariamente confuso, la cuestión es qué la consecuencia lógica es la forma en que llegamos a saber que una conclusión es un consecuente lógico, y reside en el acto de inferir, no en la propiedad de la preservación de ciertos valores.

Es importante destacar que el enfoque teórico de la demostración de los consecuentes se tiene en cuenta como una empresa independiente; en particular, muchos estudiantes se resisten a la idea de que tienen que ser sólidas sus conclusiones respecto a una relación modelo-teoría de la consecuencia. Las relaciones modelo-teoría son normas internas y no con respecto a alguna otra relación de consecuencias en relaciones formales, el enfoque Teórico-demostración debe dar cuenta de las consecuencias cuyo éxito no se mide en comparación con algún otro formalismo, sino por desiderata general del análisis conceptual de las consecuencias lógicas. 

Así que ahora tenemos en nuestras manos una relación de consecuencia lógica. Al igual que cualquier otra relación de consecuencia lógica, podemos examinar tanto sus características estructurales como sus características operativas. Recuerde que las reglas estructurales son comunes a muchas lógicas.

Un secuente es algo de la forma, donde los valores , donde y son listas de formulas en un lenguaje formal que se implican. Los secuentes son responsables de los argumentos; comprende a las premisas del secuente, y a sus conclusiones (también llamadas antecedentes y sucedentes del secuente, respectivamente). Un cálculo secuente nos da las reglas para derivar los secuentes, y cada cálculo determina un conjunto de secuenciadores derivables, que llamaremos la relación de consecuencia determinada por el cálculo. Intuitivamente hablando, las reglas que codifican formas de transformación inferencial de una manera aceptable. Estas normas vienen de dos variedades: operativas y estructurales. Una regla operativa es una que implica cierto vocabulario específico. 

Una regla estructural, por otro lado, no implica ningún vocabulario específico. Se aplica a cualquier formula, independientemente de su forma. Hay cinco reglas estructurales principales que consideramos aquí. La identidad (Identity) nos permite derivar la verdad de lo innato (axioma), para cualquier A, _, garantiza una relación reflexiva de las consecuencias (a menudo, se considera un esquema de axioma en lugar de un regla, lo que contaremos como una regla de premisa cero para una uniformidad). El debilitamiento (Weakening) nos permite añadir cualquier premisa o conclusión que nos guste a cualquier secuente que hayamos derivado, y asegura que nuestras relaciones de consecuencia serán monotónicas. El intercambio (Exchange) nos permite ignorar el orden en que las fórmulas aparecen en un secuente. La contracción (contration) nos permite pasar de un secuente que utiliza una fórmula de dos premisas y una conclusión, al secuente correspondiente que lo utiliza una sola a la vez en la fórmula respectiva. En presencia del intercambio, junto con ciertos casos especiales de debilitamiento, podemos reemplazar listas con multiconjuntos en nuestros secuentes. En presencia de contracción (junto con ciertos casos especiales de debilitamiento), podemos reemplazar muticonjuntos con conjuntos ordinarios en nuestros secuentes. El corte nos permite combinar derivaciones de ciertas maneras: si podemos derivar A como premisa en un contexto determinado, entonces podemos juntar esos contexto sin A, y derivar el resultado. Se trata de una generalización de transitividad (transitivity): cuando se da un corte sostenido (Cut holds), la lógica resultante es transitiva (por ejemplo, a partir de las premisas-secuentes y , una aplicación de corte produce la conclusión - secuente, ). 

¿Cómo leer las reglas en un sistema de secuentes? En principio, la regla  dice que un secuente de la forma debajo de la línea puede inferirse de un o unos secuentes del formulario por encima de la línea. Nuestras lógicas de juicios estructurales tienen algo más por supuesto. También hay reglas operativas, reglas que rigen determinados bits de vocabulario. Nos centraremos aquí en las conexiones de operación más habituales: negación, conjunción, disyunción, implicación y cuantificadores universales particulares. Incluso con este alcance restringido de operadores, sin embargo, hay mucho  trabajo que podemos hacer con este breve conjunto. 

Pensemos ahora en cuál de estos aceptamos, si leemos secuentes tanto como los distintos imposibles. Resulta que no hay mucha lógica en hacer esto. Solo hay un poco de teoría de conjuntos. Y la razón de esto es simple: nuestra definición de es ignorar todo, excepto la estructura de L y . Es decir, incluso si nos diera (de alguna manera o por alguna razón) una estructura interna, no importaría. Como hemos definido , lo único que importa es si hay un modelo v que cumpla las dos condiciones siguientes:

• Para cada , es verdadera en v.
• Para cada , es falsa en v.

Si existe un modelo v, no se deriva de . Si no existe un modelo v, su valor no viene de . Por lo tanto, en particular, lo único que importa es lo que está pasando con los elementos de  y . Así que es mejor tomar directamente los términos de las sentencias.

Interpretativamente, esto requiere dos ajustes:

• Cuando escribimos , lo que queremos decir es .
• Cuando escribimos , lo que queremos decir es .

Dada esta interpretación esencialmente todas las reglas estructurales que acabamos de enumerar se validan inmediatamente. Un ejemplo, es el conjunto es, para todos los conjuntos de y las sentencias P, exactamente el mismo conjunto . Esto valida la regla de consecuencia lógica (CL). Casi todas las reglas se validan mediante argumentos triviales similares. Lo único que se necesita es un poco más de corte (Cut):

Demostración: supongamos y . Deja que v sea un modelo que verifique la verdad de todo en y verifica en . Entonces, puesto que v es un modelo, v hace que P sea verdadera o hace que P sea falsa. Supongamos que v hace que P sea verdadera. A continuación, dado que v también hace que todo en el valor sea verdadero y, sigue de . Podemos concluir que v debe hacer algo en verdadero. Por tanto, v hace algo en para o  sea verdadero. 

Ahora suponemos que v hace que sea falso. A continuación, dado que v hace que todo en sea verdadero y sigue sobre , podemos concluir que v hace algo verdadero en o hace que sea verdadera P. Pero v no hace que el valor sea P verdadero, porque v hace que sea falso. Así que v hace algo en verdadero, y es cierto por lo tanto, hace algo en el valor para que sean verdaderos  o el valor de .

Por lo tanto, de cualquier manera, la suposición de que v hace verdadero todo en el valor de y todo en nos llevó a la conclusión de que v hace algo verdadero en y en . Por lo tanto, ningún modelo hace que todo en el valor y en sea verdadero, mientras no se hace verdad en cualquiera de los dos y . Así que .

Ahora pasamos a las reglas operativas. Uno puede verificar que todas las reglas operativas para y que propusimos en lineas atrás, siguen siendo válidas cuando interpretamos un secuente tanto como un distinto . Pero resulta que, nuestra vida será muchos más fácil, si dividimos nuestro tratamiento de fórmulas de negación en piezas. Por lo tanto, vamos a tratar con la siguiente colección de reglas operativas:

Una vez más, se puede comprobar  regla a regla si tomamos el secuente y el distinto , entonces todas estas son de hecho consecuencias de la teoría semántica dada. Por ejemplo, tome la regla de . Aquí hay un argumento que establece su aceptabilidad en la teoría semántica que acabamos de dar:

Demostración. Suponga y . Si v es un modelo y suponemos que v hace verificar verdadera . Entonces desde nosotros concluimos que v hace verdadera o algo en . Y desde nosotros podemos concluir de que v debe hacer verdadera o algo en .

Si v hace algo verdadero en , entonces v hace que algo verdadero en . Por lo tanto, si v no hace verdadero algo en , entonces v debe hacer algo verdadero en y en . Así que v hace falso tanto P y Q. Así que hace falso . Por lo tanto es verdadera  . Así que hace verdadero algo en . Así que .

Entre la semántica y la teoría de la demostración, ahora tenemos una comprensión bastante buena de la lógica clásica, al menos en la que se refiere a semántica L. La pregunta que se debe hacer en este punto, entonces, es si la lógica clásica es la lógica que queremos. Para examinar esto, nos centraremos en algo que ha estado visiblemente ausente de nuestra discusión hasta ahora: la condicional. 

En español, por su puesto la condicional se indica con la frase “sí… entonces…” L no contiene ningún análogo obvio de este conectivo. Podemos, sin embargo, decir un poco acerca de cómo un conectivo tendría que comportarse, y luego examinar lo que la historia estándar dice que será como conectivo.

Cómo debe comportarse un condicional 

Ahora nos centraremos en un nuevo lenguaje que se extiende de L mediante la inclusión de un conectivo adicional(que será nuestra contraparte formal a la “sí… entonces…”condicional en español). Técnicamente, esto significa que difiere de  L tanto en su vocabulario como en su conjunto de reglas gramaticales, pero es seguro dejar los tecnicismos a un lado aquí, así que lo haremos. 

En cualquier caso, para juega el rol como “sí… entonces...”, tendrá que cumplir las dos condiciones siguientes:

1. Dadas las sentencias P y , siempre que sean P verdadera y falsa, también debe ser falsa.

2. Dadas las sentencias P y , y un conjunto de sentencias , cuando secuente de junto con P, debe ser secuente solo en . 

Está intuitivamente claro que cualquier cosa que juegue en “sí… entonces...”, desempeña el papel que debería cumplir estas condiciones. Lo sorprendente es que de acuerdo con la historia estándar de , obedece esta regla a dos sentencias P y , la sentencias serán equivalentes a la sentencia . Dado que esta es una conclusión bastante sorprendente, nos detendremos para demostrarlo.

Demostración. En primer lugar, tenga en cuenta que el valor Q es verdadero sies falso. Dado que los modelos son funciones v, se deduce que no existe ningún modelo en el que P  y sean verdaderos. Por lo tanto, no hay ningún modelo en el que Q y sean verdaderos, pero si  cuando sea falsa. Así que por la definición de consecuencia lógica, secuente de junto con Q. Así, por la condición 2, consecuente de . Por lo tanto,  de nuevo por la definición de consecuencia lógica, siempre que es verdadera, es verdadera. 

Por otro lado, es obvio que siempre y cuando Q y P son ciertos, Q es verdadera. Por tanto, por la definición de consecuencia lógica, Q secuente junto con P. Así de nuevo por condición 2, secuente Q. Así que siempre que Q es verdadera, es verdadera. 

En conjunto, siempre que es verdadera o Q es verdadera, es verdadera , y por lo tanto siempre que es verdadera, es verdadera.

Por otro lado, la única manera de sea falsa, es porque es falsa y Q es falsa. Pero entonces, por las condiciones de verdad para negación, P es verdadera y Q es falsa. Pero por condición 1, es falsa cuando esto sucede. 

En conjunto, siempre que es verdadera, al igual que y siempre que es falsa, así que por lo que las dos son equivalentes.

Es común llamar a un conectivo * un condicional material cuando son, para todas las sentencias P y Q, equivalentes de . Así que, lo que acabamos de establecer, es que de la historia estándar se desprende que solo las condiciones materiales pueden desempeñar el papel del condicional.

Muchos lógicos y filósofos han pensado que esta es una conclusión absurda. Aquí hay una de esas posiciones:

Supongamos que Rogelio ha afirmado que José estaba en Morelia en un día determinado, y que Crispin lo ha negado. Considere las tres propuestas al describir esta situación:

1. Si José estaba en Morelia y Rogelio tenia razón. (Esto es claramente cierto).

2. Si Crispin tenía razón, Rogelio también. (Esto es igualmente evidentemente falso, dado la lógica de la negación).

3. Si José estaba en Morelia, Crispin tenía razón. (Esto también es falso, porque Crispin lo negó). 

Utilicemos estas proposiciones para construir un argumento, tomando como premisas 1) junto con la negación 2) y, como conclusión 3):

Si José estaba en Morelia, Rogelio tenía razón.

No es el caso que si Crispin tenía razón, también lo era para Rogelio.

Por lo tanto, si José estaba en Morelia, Crispin tenía razón.

Dado que 1) es verdadera y 2) y 3) falsas, este argumento, que toma la negación 2) como segunda premisa, tiene premisas verdaderas y una conclusión falsa. Por lo tanto, no es válido.

Clásicamente, sin embargo, el argumento es válido. Para el secuente:

Esta formalización del argumento clásico, es válida. Por lo tanto, si las condiciones de verdad de implicación material fueran correctas, el argumento sería valido. Pero no lo es. Así que tras “si” como la verdad funcional, o el cálculo clásico  de validez, es incorrecto.

Uno tiene que tomar lo disidente:  por todas las luces el argumento sesgado en el pasaje anterior, que parece ser valido. Por otro lado, no se tiene cómo el argumento  estableció la materialidad del condicional, salió en cualquier lugar. Por lo tanto, si queremos rechazar la equivalencia de y , nosotros tenemos que rechazar (al menos) una de sus hipótesis. Pero todo lo que parecía en lo que confiamos a) es la historia estándar y b) la característica que dimos anteriormente de lo que se necesita para desempeñar el papel de un condicional. Por tanto, si no queremos aceptar la materialidad del condicional, entonces debemos desafiar la historia estándar o desafiar esta característica del condicional. Centremonos en este debate sobre el enfoque anterior.

Si damos un vistazo más al argumento que dimos para la materialidad condicional, una cosa que podría parecer es el papel prominente desempeñado por la consistencia.  Si usted está predispuesto a rechazar la conclusión de este argumento, entonces esto supone la consistencia en una luz bastante mala. Además, podemos, al parecer, crear contraejemplos explícitos a la coherencia. 

* La sentencia precedida por una estrella en la página es falsa.

Si esta sentencia es verdadera, entonces también es falsa, porque eso es lo que sucede en sí misma. Por otro lado, si esta frase es falsa, entonces es verdadera, porque (otra vez) eso es justo lo que dice, así que de cualquier manera, termina siendo a la vez falsa y verdadera. Así que es un contra ejemplo a la consistencia. Si sentía que ese argumento era demasiado rápido, estamos en aprietos. Esta sentencia, que se conoce como sentencia mentirosa, ha sido objeto de muchos escrutinios desde tiempos antiguos. Pero lo mentiroso es solo una parte de una lucha mucho más grande sobre la consistencia que se ha estado gestando durante muchos siglos. El debate central sobre la coherencia es fundamental para esta cuestión de la validez de la ley de no contradicción. Aristóteles, resulta, que nada dijo sobre el tema de no contradicción:

• Es posible que falte lo mismo y no pertenezca al mismo tiempo a lo mismo y en el mismo sentido.
• Es imposible sostener (suponga) lo mismo ser y no ser.
• Las afirmaciones opuestas no pueden ser verdaderas al mismo tiempo.

Si estas tres son realmente lo mismo en el sentido relevante es un tema sugestivo en el que no vamos a entrar. En su lugar, vale la pena pensar en cómo podríamos formalizar esto en L. Hay, nos parece, tres buenas opciones sobre las que la no contradicción podría equivaler a:

A) no pueden ambas ser verdad.

B) no pueden ser lógicamente verdaderas.

C) El alegato de que cada argumento de la siguiente forma:

El primero captura la intuición que es “posible”. El segundo captura la intuición de que es siempre falso. El tercero captura una intuición en las proximidades de estos en términos de nuestra definición de consecuencia lógica: si es imposible para P y ser verdaderas, entonces, para cualquier P y  debe ser imposible para el valor de , es falso. 

Por ahora, lo que hay es que al centrarnos en esto, tanto la sentencia falsa como el papel que juega la coherencia en nuestra demostración, de que el condicional debe ser material nos dan buenas razones para al menos explorar lo que se denominan lógicas paraconsistentes. Es decir, lógicas que rechazan la suposición de coherencia. Para tener una idea de cómo va el enfoque paraconsistente de la lógica, exploremos una de esas lógicas con cierto cuidado. La lógica que presentamos es, en muchos sentidos, la lógica paraconsistente más directa posible. Es conocida como la lógica de la paradoja (LP), y fue introducida por Graham Priest en 1979. 

Paraconsistencia: semántica LP

Comenzaremos por restringir nuestra atención de nuevo. Semánticamente, lo que  distingue LP de la lógica clásica, es esto: En lugar de que los modelos sean funciones de L en el conjunto ,  el estado “b” se toma como verdadero y falso. Dónde b es el valor semántico tomado por todas las sentencias modificadas. Por lo tanto, en un modelo LP, ninguna sentencia, no es verdadera ni falsa, pero algunas sentencias son verdaderas y falsas. 

Podemos caracterizar LP con una demostración teórica usando una simple modificación de nuestra lógica clásica. Todo lo que tenemos que hacer es omitir la regla de nuestra lista de axiomas y el resultado es una teoría de demostración sólida y completa para LP. No nos molestaremos en probar esto aquí, aunque una prueba de este resultado se puede encontrar en Beall (2011^[8]). 

Examinar LP 

Así que ahora tenemos una lógica diferente, una rival a la lógica clásica, en nuestras manos. Una pregunta que vale la pena observar es qué tan diferentes son en realidad. Y hay un sentido en el que la respuesta es que no son diferentes en lo absoluto. Dada una lógica L, decimos que una frase P es una verdad L-lógica cuando P recibe un valor designado en cada modelo. LP y L clásica, resultan que tienen las mismas verdades lógicas:

Demostración. Supongamos que P no es una verdad lógica en LP, y v es un modelo en LP que representa esto, para que .  Defina una función de variables propositivas v’ con el conjunto de la siguiente manera:

Por lo tanto v’ hace falsa cada variable propositiva que es al menos falsa en v. Entonces podemos extender recursivamente v’ a un modelo clásico en la manera habitual. Cuando lo hacemos, resulta que, para cada , , si y .

Por lo tanto, desde , . Pero v’ es un modelo clásico. Por tanto si P no es una verdad LP-Lógica, entonces P no es también una verdad lógica clásica. 

Por otro lado, tenga en cuenta que si no es una verdad lógica clásica, entonces para algún modelo v, . Pero cada modelo clásico ya es un modelo LP. Por lo tanto P, no es una verdad lógica en LP.

Este hecho definitivamente en nada, es opcional b) para cómo traducir la ley de la no contradicción: ciertamente no es correcto formalizar como solo decir que es una verdad lógica. La razón es que el LP está formulado explícitamente para permitir contradicciones, sin embargo es una verdad lógica clásica, que también es una verdad lógica en LP. Por otro lado, las opciones a) y c) siguen siendo asuntos en vivo: LP, a diferencia de la L-clásica , no descarta sea verdad. Estamos de acuerdo con la lógica clásica que esta sentencia siempre es falsa; simplemente rechaza que la falsedad y la no verdad estén estrechamente emparejadas, y por lo tanto permite que esta sentencia, a pesar de ser falsa, también sea verdadera. Y LP rechaza que el argumento de P y para es generalmente valida. Por lo tanto, a pesar del hecho de que LP y L-clásica comparten todos los mismos teoremas resulta que LP difiere de la lógica clásica de maneras bastante sustantivas.

Sin embargo, conviene tomar precauciones en consideración a la historia de lo: cuando corremos algunas cosas en una lógica, a menudo otras cosas surgen no previstas. Un ejemplo, en la L-Clásica, se puede inferir válidamente P para y . Esto se debe a que los modelos clásicos son funciones v. Por lo tanto, cualquier modelo que haga sea verdadera debe hacer P falsa. Así que si este mismo modelo hace verdadero, entonces debe ser porque hace verdadero P. 

Pero los modelos LP no son funciones; son relaciones. Por lo tanto, el hecho de que un modelo LP v hace verdadero . No descarta que P sea verdadero, así que está relacionada con ambas T y . Pero esto puede suceder mientras está relacionado solo con . Cualquier modelo de este tipo es entonces un contra ejemplo al silogismo disyuntivo. 

Lo que esto muestra es algo interesante: la vía paraconsistente para evitar la conclusión de que todos los condicionales son materiales corre el riesgo de invalidar inferencias más bien comunes, como el  silogismo disyuntivo. Esto puede parecer un alto costo. Hay, sin embargo, un poco de un revestimiento de valor, que viene con esto, como es el caso con frecuencia en la lógica filosófica, en forma de un teorema, este debido a Jc Beall:

Teorema. Si es una frecuencia clásica válida, entonces es valida en LP, donde definimos repulsivamente de la siguiente manera:

Si P es una sentencia atómica, entonces .

Para las sentencias no atómicas, definimos v como sigue:

Por último, para el conjunto de sentencias, lo definimos:

se conoce como el conjunto de incoherencias de . Cada elemento de es de la forma para alguna sentencia atómica P que ocurre como parte de algún miembro de . Y contiene todas esas contradicciones atómicas. 

No vamos a probar este teorema aquí, aunque vamos a señalar que una prueba bastante suave del resultado se puede encontrar en Beall^[9]. Lo que el teorema nos dice es que, esencialmente, LP no es más que una versión cautelosa de la lógica clásica. Cuando la L-Clásica aprueba directamente , LP procede un poco más cautelosa, respaldando en su lugar la afirmación a) ,o b) algo en es una contradicción.

Todo esto es decir que hay pros y contras para adoptar LP como nuestra lógica preferida. Pero, ¿qué pasa con el condicional, qué motivó este desvió en primer lugar? Aquí, resulta, hay un problema^[10]: se puede mostrar que el LP no puede ser equipado con un conectivo significativo que pueda jugar el “sí… entonces…” rol en el sentido que lo caracterizamos anteriormente.

En resumen, la semántica LP descarta la adición a L de un conectivo que pueda jugar el “sí… entonces…” Por supuesto, podemos añadir perfectamente un condicional material a LP, y si lo hacemos, podemos recuperar todos los teoremas clásicos sobre este conectivo en el sentido de que podemos recuperar cualquier otro teorema clásico como se da en el teorema anterior. Pero a menos que también estemos dispuestos a impugnar la característica del condicional que dimos anteriormente, LP definitivamente no es una manera de evitar que el condicional sea material.

El condicional material es una función v que puede tomar dos valores de verdad (por lo general los valores de proposiciones):

1) Devuelve cuando el primer valor es T y el segundo ,

2) Y devuelve T en cualquier otro caso.

Como se puede notar, el condicional material devuelve solo cuando el antecedente es T y el consecuente . En todos los demás casos, devuelve T (verdadero).

La consecuencia lógica 

Nos hemos dado cuenta que una lógica rival a la L-clásica se genera al eliminar la suposición de coherencia o al dejar caer la suposición de integridad. Teniendo en cuenta lo que hemos visto hasta ahora, hay razones para preocuparse que estos dos enfoques nos son prometedores de encontrar otras lógicas. Uno debe ser cauteloso al llegar a esta conclusión: hemos examinado cuál es, en esencia, la versión más simplista e ingenua de cada uno de estos enfoques. Es de esperar que quede claro  que hay muchas más opciones sofisticadas disponibles. Esto es especialmente cierto una vez que se lleva a cabo la maquinaria de la caracterización de la lógica dada en términos generales. 

La historia estándar tiene una suposición adicional a estas: la definición de consecuencia lógica. Y es, como hemos señalado anteriormente, una suposición muy poderosa. Hemos dado cuenta de la noción alternativa que vale la pena considerar: consecuencia lógica. 

1.3 Constantes lógicas 

La extensión de la lógica de primer orden, es motivada, porque se reconoce la identidad “=“ como una conexión lógica y no la excluye como una expresión no lógica (conceptual). ¿Pero sobre qué base consideramos decir qué expresión debe pertenecer al arsenal de la lógica? ¿Por qué la identidad “=“ debería pertenecer a ella? ¿De qué hablamos cuando nos referimos a constante lógica? 

El significado de conectivo lógico, este problema, surgió cuando consideramos la discusión sobre lógicas alternativas. Como hemos visto, algunas lógicas están motivadas por la convicción de que ciertas inferencias que están permitidas por la lógica clásica, no son de hecho válidas en estas lógicas alternativas. Pero, ¿es una lógica la que considera que las expresiones de la forma son posiblemente verdaderas en una lógica en la que expresa la negación?

Las negaciones paraconsistentes no son negaciones, considere esto^[11]:

1. Las contradicciones no pueden ser verdaderas juntas.

2. Una sentencia y su negación son contradicciones.

3. Si L es una lógica paraconsistente, entonces, en la semántica de L, hay valoraciones “inconsistentes” que asignan tanto A y como un valor designado, para la fórmula A.  

4. Si A y B reciben un valor designado, bajo una valoración v, en la semántica L, entonces A y B pueden ser verdaderas juntas de acuerdo con L.

5. En las lógicas paraconsistentes, A y no pueden ser contradictorias por los incisos (1)(3)(4).

6. Por lo tanto, las negaciones paraconsistentes no son negaciones por los incisos (2)(5).

¿Esto es correcto?, en caso afirmativo, ¿qué implica esto para la naturaleza del conflicto/desacuerdo entre las lógicas clásicas y las lógicas desviadas? En una lógica por extensión, se añaden nuevas constantes lógicas y en una lógica por desviación, se utilizan las constantes lógicas habituales pero con un significado diferente. Dos lógicas son diferentes sí y solo si sus colecciones de argumentos lógicamente válidos e inválidos son diferentes. El cambio de tema (sujeto) consiste en cambiar la forma en que entendemos a los conectivos, es decir, modificar su significado. Esto, a su vez, consiste en cambiar los valores que una fórmula determinada toma bajo ciertas condiciones y también en modificar las implicaciones entre ciertas sentencias. Por lo tanto, cambio de tema significa, cambio en el significado de los conectivos lógicos; lo que a su vez significa cambio en los valores de la verdad de ciertas fórmulas, presumiblemente atribuible a un cambio en la manera de evaluar los conectivos, y un cambio en las inferencias válidas entre ciertas fórmulas. De otra manera podemos decir: el significado de un conectivo lógico está determinado por las condiciones de verdad de las sentencias en las que aparecen. El hecho de que esas condiciones de verdad validen ciertos teoremas, a saber, los de la lógica clásica, se debe a que esas condiciones de verdad replican el uso de sus homólogos cotidianos del lenguaje de la forma más fiel posible.

En consecuencia la lógica desviada aboga por un cambio en el significado de los conectivos, sobre la base de un propósito que los requiere. Si no tiene que modificar la colección de teoremas clásicos, esto se debe a que algunas de las teorías que consideramos dignas de inclusión en nuestro cuerpo de conocimiento requieren diferencias lógicas. Por ejemplo, en el estudio de la mecánica cuántica, la lógica clásica obstaculiza el desarrollo del conocimiento. Los cambios de las herramientas inferenciales se consideran globales en lugar de meramente locales. Un cambio de lógica es un cambio de tema, pero también este cambio es global sobre el mundo posible que significa.

Ahora el problema no es cuál o cuántas constantes lógicas hay, sino lo que determina el significado de los conectivos, independientemente de cuál y cuántos de los conectivos  cuentan como constantes lógicas. 

En el contexto de una discusión sobre la lógica de la mecánica cuántica, Putman introduce la idea de un “significado operativo” para las conexiones lógicas. El significado operativo de los conectivos se puede especificar de la siguiente manera. Supongamos que hay una semántica en la que hay al menos dos valores de verdad (falso y verdadero) y que estos forman un orden parcial. Los significados operativos de los conectivos serían los siguientes:

El significado operativo de consiste en su valor de verdad fiel a su valor de ambas coyunturas.

El significado operativo de consiste en el valor de verdad supremo de ambos valores disyuntos.

El significado operativo de consiste en el valor de verdad de la conjunción de y P iguales a falso y la disyunción de y P iguales a verdadero. 

Los conectivos de la lógica cuántica y clásica comparten este significado operativo; además, no es difícil demostrar que los teoremas clásicos pueden caracterizarse a partir de este significado operativo una vez que se restringe la recopilación de valores de las dos colecciones de verdad. 

Por lo general, se piensa que la lógica solo se refiere a las características que las sentencias y argumentos poseen en virtud de sus estructuras o formas lógicas. La forma  lógica de una sentencia u argumento viene determinada por su estructura sintáctica y semántica y, por la colocación de ciertas expresiones entre ellas denominadas “constantes lógicas”, o también referidas como operadores modales o partículas discursivas. Por lo tanto, para determinar que sentencias son lógicamente válidas y que sentencias son lógicamente verdaderas, debemos distinguir a las constantes lógicas de un lenguaje L de sus expresiones no lógicas de un modo regido por principios consistentes. Como hacer demarcaciones es este problema de las constantes lógicas en los casos de conjunción, disyunción, negación…, no tenemos mucho problema de hacerlo intuitivamente, pero, para otros operadores seria bueno contar con un criterio de demarcación que nos indicara dónde trazar la línea entre expresiones lógicas y no lógicas. 

Según los demarcadores, la lógica es el estudio de las propiedades de los argumentos o razonamientos que tienen en virtud la forma lógica de premisas y conclusiones. Sin embargo, la forma lógica a su vez está determinada por las constantes lógicas que se producen segmentando estas premisas y conclusiones. Por lo tanto, el objeto de la lógica está entre expresiones lógicas y no lógicas. Una cuestión central en la teoría lógica es que nos permita establecer una distinción de principios lógicos y no lógicos que esperaríamos nos proporcionen conocimiento sustancial de la naturaleza de la lógica. Típicamente se piensa que el problema no solo es genuino e importante, sino que se puede resolver por medio de alguna teoría, ya sea matemática, semántica, epistémica o de cualquier otro tipo.

En cambio, los “optimist Debunkers” no creen que el objeto de la lógica esté determinado por la colección de constantes lógicas. En su lugar, la lógica estudia la simplicidad de la validez lógica. Los lógicos estudian esa ración clasificando los argumentos por su forma, en consecuencia, el problema de la demarcación es realmente un seudoproblema: aprender la familia del lenguaje de constantes lógicas de un lenguaje L.

El enfoque más prometedor para delimitar las constantes lógicas de otras expresiones es el enfoque de “invariancia de permutación^[12]”. Se supone que la lógica es un “tema neutral”, las conexiones lógicas no se supone que sean sobre nada conceptual. En términos teóricos del modelo, esto podría corroborarse exigiendo que la extensión de una constante lógica sea independiente de cómo es el dominio. Para comprobar si una extensión es independiente de cómo es el dominio, simplemente podemos ver si la extensión permanece igual si los objetos en el dominio “puntos de intercambio” por así decirlo, se modifican sin afectar la constante lógica, considerándose permutaciones del dominio. En una permutación, los objetos de un dominio se asignan a otros objetos de ese dominio. A continuación, podemos definir transformaciones relativas a permutaciones. 

Una transformación nos indica cómo los tipos de la jerarquía dependen de la permutación. Tomemos como ejemplo el dominio de todas las cosas de colores y dos subconjuntos apropiados de ese dominio: el conjunto de todas las cosas rojas y el de todas las cosas verdes. Si conmutamos este primer conjunto, entonces podría ser que la permutación asigne a un objeto que resulta estar en el conjunto de cosas verdes. La transformación de nuestro conjunto original de cosas rojas tiene ahora una extensión diferente. Ahora hay un objeto en ese conjunto que no estaba en el conjunto original antes de la permutación, por así decirlo. Por otro lado, tomamos la identidad relación como un conjunto de pares ordenados, a continuación, ese conjunto seguirá siendo el mismo, independientemente de cómo permutemos los objetos en el dominio. El signo de identidad, que tiene es establecido como extensión, es por lo tanto “invariable de permutación”.  Uno necesita jugar con los detalles del enfoque un poco, con el fin de obtener el resultado previsto, pero el criterio de permutación-invariación ofrece:

Los predicados monásticos “es una cosa” (que se aplica a todo) y “no es nada” (que no se aplica a nada), el predicado de identidad, los conectores de verdad-funcional, y los cuantificadores existenciales  y universales estándar pasan la prueba. También lo hacen los cuantificadores binarios estándar de primer orden como “la mayoría”. De hecho, debido a que la cardinalidad es invariable por permutación, se extienden todo cuantificador de cardinalidad, incluyendo “hay infinitamente muchos”, “hay incontables”, y otros que no son definibles de primer orden. Además, los cuantificadores de segundo orden cuentan como lógicos (al menos en la semántica estándar en la que se extienden sobre subconjuntos de orden superior). Por lo tanto, se excluyen todos los nombres propios, al igual que los predicados “rojo”, “caballo”, ”es un sucesor de” y “es miembro de”, así como los cuantificadores “algunos perros” y “exactamente dos números naturales”. Por lo tanto, el criterio de invariancia parece concordar al menos parcialmente con las intuiciones comunes sobre la lógica o la neutralidad del tema, y con nuestra práctica lógica discursiva.

Por lo tanto, esta propuesta está motivada en la matemática precisa, muchos de sus resultados se ajustan a la práctica común de los lógicos, y deciden algunos casos límite. El criterio de invariancia es puro en la medida en que solo tiene en cuenta las propiedades semánticas (en lugar de las gramaticales o teóricas de demostración) para caracterizar interpretaciones disponibles para las constantes lógicas. Es local ya que los criterios se aplican a las propiedades semánticas de la expresión en cuestión, en lugar de a la expresión como parte de un sistema más grande (como enfoque que implican propiedades metalógicas para la demarcación de las constantes lógicas). Por último, el criterio de invariancia es intrínseco, porque las nociones lógicas no se contrastan ni se comparan con otras nociones^[13]. 

Hemos de tratar de ver cómo se entiende el significado de las conectividades lógicas y luego definir como constantes lógicas esas expresiones cuyo significado se capta de esta manera especial. Una sugerencia más concreta es considerar las constantes lógicas como exactamente aquellas expresiones cuyo significado está totalmente determinado por algunas reglas en un marco teórico de adecuación de demostración. El problema es que ningún conjunto de reglas servirá para determinar una constante lógica. Si se pudiera demostrar que las constantes correctas se determinan si las reglas observan ciertas condiciones adicionales, entonces este enfoque bien podría funcionar. Discutimos la idea de que el significado de una constante lógica se proporciona mediante reglas de introducción y eliminación. Un segundo problema, es que, incluso si uno compra la idea general de que el significado de una extensión está proporcionando por las reglas de uso, no está claro que las reglas que hemos considerado hasta ahora sean suficientes para comprender el significado de cualquier expresión lógica. En conclusión, sugerimos que el razonamiento inductivo de los casos de una generalización a la propia generalización en sí es parcialmente constitutivo del significado del operador lógico. Es decir, los principios que guían a los lógicos para catalogar ciertas extensiones en las lógicas por extensión, han sido esencialmente principios pragmáticos con un contenido considerablemente vago; basta con considerar el criterio de la lógica que a menudo ha tratado de ofrecer caracterizar las ricas nociones lógicas de una expresión lógica, sugeridos por principios de uso en la tradición discursiva de la filosofía y la ciencia^[14]. Sugerimos estudiar esto en el diccionario de operadores discursivos en URL: http://www.libertadacademica.com/EbookLetras10/elements/TablaContenido.html.

1.4 Lógica metafísica 

Cuando hablamos de verdades lógicas parece tener sentido preguntarnos ¿qué? es lo que hace que estas verdades sean verdaderas. Esta pregunta puede entenderse de diferentes maneras, y tendremos que desambiguarlas en este apartado. Sin entrar en el territorio de las teorías de la verdad, un relato de la verdad, por ejemplo, “la nieve es blanca”, es una sentencia verdadera porque la nieve es en realidad blanca. ¿Deberíamos decir lo mismo de “la nieve es blanca o la nieve no es blanca? Es cierto porque es algo que se aprende en una clase de lógica. Además, allí se aprende a determinar que esta sentencia es verdadera sin investigar la nieve o su color. 

Esto nos lleva a otra manera de entender el tema de este apartado: ¿cuál es el tema cuando estudiamos la lógica? ¿Es el tema de la lógica un conjunto de hechos muy generales en el mundo o es la lógica el estudio de los hechos generales en nuestras mentes? Después de todo se dice que la lógica establece las leyes del pensamiento. ¿O la lógica es solo el estudio de las convenciones lingüísticas tal vez de las que introducimos en el propio estudio lógico?

La posición predeterminada con respecto a casi todas las áreas del discurso humano que permite la aplicación de un predicado de verdad a las declaraciones hechas en ese discurso es el realismo.  El realismo es un pensamiento con dos condiciones necesarias.

La primera de estas dos condiciones necesarias la llamaremos condición de cognitivismo, tiene dos dos aspectos. Uno es la idea de que las afirmaciones sobre la verdad lógica, son verdaderas o falsas. El segundo aspecto, es que estas afirmaciones tienen contenido representativo; las afirmaciones son verdaderas o falsas porque reflejan correctamente o incorrectamente ciertos hechos del mundo. 

La segunda de las condiciones necesarias, llamémosla la condición de objetividad, luego afirma que cualquiera que sean estos hechos, son independientes de nosotros (de nuestro maquillaje psicológico, nuestras convenciones lingüísticas y prácticas inferenciales). Pero, ¿si estos no son hechos relevantes?, qué otros hechos pueden importar plausiblemente para las afirmaciones sobre la verdad lógica, implicación, etc. Hay al menos dos candidatos algo populares: platónicos y estructuralistas.  

Los realistas platónicos sostienen que los hechos que se describen correctamente por una verdadera teoría son hechos que involucran ciertos objetos abstractos. Si somos realistas sobre, por ejemplo, las proposiciones como ciertos objetos abstractos que son el contenido de pensamientos y sentencias, entonces, podría ser relativamente natural sostener que las relaciones de implicación entre ellos si son lógicamente o no verdaderos hechos, que son tan objetivos e independientes de nosotros como la existencia de estos objetos abstractos mismos. Después de todo, estas propiedades lógicas y relaciones se mantendrán plausibles debido a las propiedades intrínsecas de esos objetos abstractos. En este punto, los hechos lógicos obtienen en un cierto reino de objetos abstractos, un tercer reino independiente de la mente, pero también independiente del mundo físico.

Los estructuralistas, por otra parte, sostienen que los hechos dentro de la verdad lógica describen correctamente la estructura metafísica general del mundo. Para los propósitos actuales, la principal diferencia entre estas dos posturas, parece ser en cómo de manera diferente, interpretan hechos lógicos de otros hechos. Mientras que el realista platónico asume una dicotomía en el ámbito de los hechos y los entes abstractos; el realista estructuralista, considera que los hechos lógicos están en el mismo ámbito de los hechos con todos los ademas hechos (y no están comprometidos con la existencia de la abstracción). Los realistas platónicos incluyen a Edmund Husserl (1859-1938). Husserl considera que los hechos son características de entidades abstractas existentes de forma independiente las que dan cuenta de la verdad de las leyes lógicas^[15]. 

Más recientemente Jerrold Katz, aboga por el realismo lógico como realismo sobre la abstracción que defiende una variedad inspirada en Husserl del realismo lógico. 

El realista estructuralista, por otro lado, sostiene que la teoría lógica describe estructuras muy genérales del mundo (metafísicas). La teoría lógica es por lo tanto una teoría metafísica muy general. Una manera de verlo, es observar que la lógica no es, como a menudo se considera metafísicamente neutra, sino que es en realidad la que hace afirmaciones metafísicas. La lógica debe ser capaz de actuar como árbitro de disputas metafísicas, al menos como un marco en el que todas las partes pueden estar de acuerdo para provocar las consecuencias de las teorías metafísicas rivales. Un problema obvio para esta esperanza es la proliferación de lógicas alternativas, muchas de ellas motivadas por consideraciones metafísicas distintas (generan sistemas conceptuales y teóricos distintos), no existe principio lógico universal aceptado, sino capas subyacentes de realidades^[16]. 

Pero tal vez eso no es un error, sino una característica de la lógica. En lugar de tratar de evitar compromisos metafísicos, uno podría apoyarlos y defender el contenido metafísico especifico de la teoría lógica. La ley del medio excluido, por ejemplo, es entonces verdadera porque representa correctamente los hechos metafísicos de esa realidad. 

Sider, no cree que los conceptos meta-lógicos, como el de una constante lógica o el de la verdad o consecuencia lógica, tallen las articulaciones de la realidad. Pero la razón de Sider para negar que los conceptos lógicos tallan, es su supuesta importancia para mejorar nuestra comprensión fundamental del mundo^[17]. No está claro que esta visión se siente cómodamente con la idea de que algunas constantes lógicas tallan la realidad. Después de todo, algunas sentencias en términos de tallado, conjuntamente dan forma lógica a las verdades necesarias. Si la estructura del mundo es tal que da lugar a este fenómeno entonces, tener una teoría al respecto seguramente mejoraría nuestra comprensión fundamental del mundo. Sin embargo, si asumimos que el vocabulario metalógico también es tallado por la realidad, entonces la teoría lógica sería de nuevo una teoría metafísica general , otro ejemplo de realismo estructuralista sobre la lógica. 

Si usted cree que el tema de la lógica comprende objetos abstractos (proposiciones, relaciones, constantes, órdenes)  y cree que existen y tienen sus propiedades lógicas independientes de nosotros, entonces usted, está comprometido con el realismo lógico.

Además, si usted cree que la teoría lógica hace ciertas afirmaciones muy generales y que estas son verdaderas o falsas independientemente de nosotros, usted es un realista. En ambos casos, el realismo es consecuencia de un compromiso previo con ciertos tipos de hechos objetivos que uno considera verdaderos responsables de las afirmaciones de la lógica. La lógica está dentro de la realidad que la estructura.

1.5 Lógica epistemológica 

Hay dos cosas que debemos tener en cuenta en la inferencia de la epistemología a la metafísica. La primera, observar que no hay garantía de que los científicos estén utilizando la mejor o incluso, una metodología apropiada para estudiar el tema de su disciplina. Dado que el tema es cuestionado (después de todo lo que estamos buscando, son argumentos que nos iluminen en lo que el tema es), los científicos podrían haber elegido la metodología equivocada, porque tenían falsas creencias sobre la naturaleza del tema (el tema es el objeto de estudio). Tal vez, cometieron el error colectivo de adoptar una metodología a partir de una tradición sin suficiente reflexión crítica. Sostener que la metodología es la apropiada, se estaría justificando al señalar un progreso en la ciencia que parece milagroso, si la metodología fuera inapropiada esto sería distinto. Desafortunadamente, para la mayoría de las áreas de la investigación científica, el progreso es tan modesto que este argumento parece débil.

Uno podría contrarrestar con la observación de que la lógica, al menos, está haciendo mucho mejor papel que la mayoría de las otras disciplinas. La lógica está progresando, por lo tanto, sea lo que sea que la lógica esté estudiando, la metodología parece apropiada para esa materia. Aquí es donde entra nuestra segunda observación. En realidad, la metodología prima facie de la lógica, no discrimina claramente entre diferentes relatos de la materia. 

Por epistemología nos referimos a un relato de cómo llegamos a creer y cómo justificamos las afirmaciones sobre la verdad lógica, la implicación lógica, las constantes lógicas… Según Nelson Goodman, aprendemos sobre la validez de argumentos particulares bajo principios generales. Por otra parte, reconocemos la validez de estos principios generales, reconociendo que dan el veredicto correcto sobre la validez de argumentos particulares. Lo que se mantiene para la validez lógica (la consecuencia lógica)  se mantiene también para la verdad lógica^[18]. Prima facie es una locución latina en referencia a primera vista. 

En el caso de que un argumento que pensáramos que era inválido, sea considerado válido por los principios generales que consideramos verdaderos, tenemos que tomar una decisión sobre dónde hacer ajustes. Podemos cambiar nuestra opinión sobre la validez del argumento en particular, o modificar nuestros principios genérales. Estos ajustes son necesarios hasta que nuestras creencias sobre los principios generales y nuestras creencias sobre qué argumentos son válidos estén en “equilibrio reflexivo”. En el proceso de hacer estos ajustes nos guiamos por ciertos principios generales de la elección de la teoría (simplicidad, simetría, afianzamiento) así como otras creencias que podríamos tener. Si esta epistemología sobre la lógica es solo una parte de un proceso más amplio de ajustes mutuos entre creencias, hablamos de un equilibrio más demandante.

Es así como justificamos las afirmaciones sobre la verdad lógica, la implicación lógica…, vale la pena destacar que esta historia es compatible con todas las opciones que hemos discutido. Consideremos primero el no cognitivismo. Sostiene que el mejor equilibrio reflexivo describe mejor nuestra epistemología en el caso de la lógica. Que el no cognitivismo es compatible con esta prima facie epistemología, ya que al no haber hechos,  uno no ve ninguna “epistemología” que va a ser inadecuada. 

Con respecto al psicologismo, la prima facie epistemología es demasiado general para discriminar. La forma en que lo describimos, el “método” de equilibrio reflexivo tiene dos componentes principales. Uno es el ajuste mutuo entre principios generales creídos y los juicios sobre casos particulares. El segundo componente, es que los insumos iniciales en el proceso de ajuste mutuo son creencias preexistentes (sobre casos o principios). Tal vez se podría pensar que el primero de los componentes es más adecuado para el relato no cognitivista debido a la circularidad involucrada: los principios generales están respaldados por instancias individuales, las instancias están respaldadas por principios generales; si falta apoyo hay una elección pragmática sobre dónde realizar el ajuste. Pero lo mismo ocurre en las áreas de investigación científica en las que se podría tener una visión fáctica sólida. Siempre que nuestra teoría (creída como verdadera) esté en conflicto con los datos recalcitrantes, tenemos que tomar la decisión de ajustar la teoría o descartar los datos. En general, no es la mejor estrategia ajustar la teoría a los datos. Esto hará que la teoría sea muy complicada e ignorará el hecho de que hay errores de observación. Pero entonces hay que elegir entre simplicidad y adecuación empírica, un proceso de ajuste mutuo entre los puntos de datos particulares y la teoría general. 

Por lo tanto, el primer componente es solo una consecuencia de un predicamento epistémico general. Si las decisiones que tomamos cuando nos enfrentamos a datos recalcitrantes son pragmáticas, entonces, diferentes opciones podrían conducir a diferentes equilibrios y, por lo tanto, a diferentes teorías (no todas las cuales pueden ser verdaderas). En otras palabras las teorías están subdeterminadas por los datos. Esto puede sonar frustrante, pero es una frustración con la que el factualista está familiarizado en todas las áreas de investigación.

El segundo componente es un poco más interesante, pero por desgracia demasiado inespecífico para favorecer claramente una cuenta metafísica en particular. Las creencias antecedentes que sirven como insumos para el proceso de equilibrio reflexivo pueden ser acomodadas por todos los relatos, con solo historias ligeramente diferentes. Los convencionalistas, psicólogos y neo-kantianos, por ejemplo, podrían encontrar hechos sobre la lógica en las convenciones lingüísticas que adoptamos o adquirimos con nuestra competencia lingüística^[19] o en nuestra competencia de razonamiento. Es este caso, las creencias antecedentes sobre casos particulares y principios generales son quizá simplemente resultado de esta competencia lingüística o del razonamiento, comparables a los juicios intuitivos sobre la métrica que los lingüistas consideran como los datos pertinentes para la investigación en gramática (Chomsky). En este caso, los datos (la entrada en el proceso de equilibrio reflexivo) son el resultado de la competencia, disposición y el conjunto de convenciones internalizadas que dan cuenta del tema pertinente de la lógica para una historia detallada a lo largo de estas líneas. Los realistas por otra parte, podrían considerar que a las creencias antecedentes, como los resultados de una facultad especial de “intuición racional” que proporciona evidencia sobre hechos metafísicos o el “tercer reino“ platónico que considera a las creencias antecedentes para ser lo general (creencias empíricas profundamente arraigadas, axiomas en nuestra biología). 

En otras palabras, todos los relatos metafísicos tendrán que contar alguna historia sobre por qué las creencias antecedentes que tomamos como puntos de partida para el proceso de equilibrio reflexivo están desempeñando legítimamente ese papel, pero todos tienen una historia que contar. Claro, algunas de estas historias son mejores que otras, pero incluso para las malas historias hay filósofos que se suscriben explícitamente a estas, por lo que la inferencia de la práctica epistémica a la metafísica implícitamente asumida de la lógica es bloqueada.

Hay historias que se desmoronan cuando se trata de la cuestión de cómo mejorar la metodología  existente (cómo ampliar el equilibrio reflexivo). Actualmente se recurre a la evidencia de estudios psicológicos de los procesos de razonamiento humano y ciencia cognitiva. Sin embargo, la mayoría de los relatos parece haber aprendido a vivir con la metodología estándar y simplemente proporcionar diferentes interpretaciones de la misma. 

Esto nos hace plantearnos:

¿La lógica es revisable?

¿La lógica es a priori o a posteriori?

¿Podemos justificar la lógica?

Observemos en primer lugar que las tres preguntas son realmente distintas. La primera, es independiente de la segunda en cómo podemos saber de la lógica. Tal vez, si la lógica es a posteriori y es a priori, se puede revisar. Pero, también, la lógica podría ser a priori pero no revisable.

La tercer pregunta se refiere a si la lógica está justificada. Si usted piensa que es a priori u a posteriori son formas de saber y creer que la justificación es necesaria para el conocimiento, entonces, si hay alguna respuesta positiva a la segunda pregunta, tendremos que responder a la tercera pregunta también en una manera  positiva, porque si sabemos que es conocido a priori, entonces sabemos que es conocido  y entonces sabemos que es justificable. Pero así no es como tenemos que pensar estas categorías. Algunos filósofos de la ciencia (Karl Popper) sostendrían que las teorías científicas son a posteriori revisables, pero nunca reciben una justificación positiva.  Si tomamos esa observación junto con la anterior, entonces la lógica podría resultar a priori o a posteriori revisable, pero no justificable de ninguna de las dos maneras. 

Aunque estas preguntas parecen ser distintas, veremos que están interrelacionadas de varias maneras. Las tres preguntas tienen respuestas estándar o, al menos, que fueron corrientes hasta mediados del siglo XX. Esta cuenta estándar es la siguiente: la lógica goza de un estado epistémico especial, la forma más fuerte de certeza: la lógica es evidente. Nuestra certeza  se basa en el a priori (porque al hacer, es como reconocemos la autoevidencia), y debido a que es conocimiento a priori, también goza de la justificación final. Este relato estándar fue sacudido considerablemente por Willard Van Orman quien en su famoso artículo “Dos dogmas de empirismo^[20]”. Atacó el último componente de la cuenta estándar, la idea de que la lógica es justificable. Se refiere al problema de la inducción.

El problema clásico de la inducción es el problema de cómo se justifican las inferencias inductivas, mientras que la justificación, se supone que es muy diferente de describir cómo realmente hacemos inferencias inductivas. Pero, ¿por qué requerimos en primer lugar esa justificación? Una posible línea de pensamiento podría ser que los resultados finales de las inferencias inductivas son creencias que consideramos candidatas para conocimiento. En las ciencias esto parece más obvio: el conocimiento científico, es el producto final previsto de la investigación, un buen consenso parece descansar en el método inductivo. Parece basarse en inferir declaraciones universales generalizadas. Para que tengan cualquier oportunidad de calificar como conocimiento, al menos necesitan calificar como justificados sobre la base de nuestra evidencia, lo que a su vez significa que la inferencia que hicimos de nuestra evidencia a la declaración universal generalizada (leyes) debe haber sido justificada. Pero, ¿cómo podría justificase tal inferencia? 

Para responder a esta pregunta primero debemos saber lo que necesitamos para una justificación. Lo que tradicionalmente parece ser requerido de una justificación es un buen argumento que establece que el uso de inferencias inductivas no nos desvía. No solo queremos saber lo que hacemos cuando hacemos inferencias inductivas, sino saber por qué es correcto hacer tales inferencias. Aunque de alguna manera parece ser una pregunta significativa si existe tal justificación para nuestra práctica inductiva, David Hume demostró que no puede haber tal argumento, si reflexionamos sobre lo que significa un “buen argumento”, y lo que significa “no desviarnos”. Un buen argumento es al menos un argumento válido y no circular. Para Hume, hay argumentos inductivamente válidos y deductivamente válidos. Dado que la validez inductiva está bajo control aquí, todo los argumentos inductivos para la justificación de la inducción deben ser descalificados por ser circulares de la inducción por regla: el argumento utiliza una inferencia para demostrar la justificación de la inducción.

Si el uso de inferencias inductivas no nos desvía, significa que las inferencias inductivas son necesarias para preservar la verdad, entonces, un argumento deductivo no puede demostrarlo. La razón es que el contenido de la conclusión de una inferencia inductiva trasciende el contenido de los locales (premisas) y eso, significa a su vez que no puede haber una ruta deductiva desde la cláusula hasta la conclusión de una inferencia inductiva. Aunque se podría encontrar una premisa para hacer una inferencia inductiva deductiva (premisa que reivindica la uniformidad de la naturaleza), sería, de ser cierto, de nuevo solo lógicamente verdadera y sintéticamente verdadera. Si fuera lógicamente cierto, la conclusión de una inferencia inductiva también habría seguido deductivamente de las premisas sin ella.

Es importante comprender que el argumento de Hume es general. No se trata de solo un argumento de un intento particular de justificación general de que no puede haber tal justificación en absoluto. El dilema de Hume, tiene dos caminos: el primero es que la justificación deductiva de la inducción sería demasiado fuerte; el segundo, es que una mera justificación inductiva de la inducción sería circular. Típicamente cuando acusamos un argumento o una línea de razonamiento de ser circular, tenemos un razonamiento en mente que asume como punto de partida lo que todavía se supone se establece por el razonamiento. En el caso más evidente, tal razonamiento sería en forma de un argumento que tiene su conclusión también como premisa. Cómo se define exactamente esta forma de circularidad viciosa o mendicidad, es un problema notoriamente difícil. Pero este tipo de circularidad no es lo que encontramos en los argumentos que se están considerando aquí. En lugar de tener como premisa la conclusión  prevista, los argumentos problemáticos parecen basarse más bien en una norma de inferencia, cuyo carácter justificado es lo que pretende establecer el argumento. Por lo tanto, estos dos caminos objetan que una justificación inductiva de la inducción o una justificación deductiva de la deducción sería circular. 

El hecho de que cualquier justificación puramente deductiva de la inducción sea demasiado fuerte, por supuesto, no dice realmente que demuestre más de lo que se suponía probar. Más bien está indicando una incompatibilidad estructural entre medios para establecer algo y la alegación que se supone debe establecerse.

Un argumento deductivo para justificar la inducción está obligado desde el principio a fracasar, ya que es inadecuado establecer algo menos que la preservación de la verdad lógicamente necesaria (y que las inferencias inductivas no son preservadoras de la verdad con necesidad lógica es un corolario analítico de ellos siendo inductivos). La razón es que una justificación puramente deductiva solo puede empezar a partir de verdades que son en sí mismas necesidades lógicas (por ejemplo, axiomas, teoremas) y lo hará por aplicación de reglas de inferencia deductivas siempre solo da lugar necesidades lógicas (las inferencias deductivas no solo preservan la verdad, sino que también preservan la verdad necesaria). Pero ningún principio de inducción y ninguna afirmación sobre su justificación, es una verdad de la lógica. Por lo tanto, ninguna justificación puramente deductiva podría dar lugar a la conclusión correcta. 

Uno podría preguntarse si se requiere un argumento puramente deductivo, o si podría haber un argumento deductivo para un principio de inducción que parte de premisas no necesarias. Sin embargo, en este caso surgiría un problema similar al que ya encontramos: las premisas de ese argumento transcenderían la experiencia o no trascenderían a la experiencia. Si trascienden la experiencia, entonces ya deben basarse  en un principio de inducción que nos lleva de nuevo al problema de circularidad. Entonces ningún argumento podría establecer un principio general de inducción. Ningún método de inferencia inductivo nos permite inferir una regla de inferencia deductiva necesaria para preservar la verdad, es decir, que si las premisas de tal inferencia son verdaderas, entonces también necesariamente la conclusión de esa inferencia es necesariamente verdadera. 

La revisibilidad de la lógica

La revisibilidad de la lógica (su razonamiento). Distingamos tres lógicas. La lógica docens es la lógica que enseñamos, una teoría que describe o modela las consecuencias lógicas y la verdad lógica. La lógica utens es la lógica que usamos  en la forma en que realmente razonamos en condiciones idealizadas. Se refiere a nuestra competencia, no a nuestro desempeño. La lógica ens es la lógica tal como es, lo que esto se refiere dependerá de la metafísica de la lógica que asumimos. Si somos realistas platónicos, se refiere a ciertos hechos relacionales que se obtienen entre objetos abstractos, si somos realistas estructuralistas, se refiere a ciertos hechos muy generales; si nos suscribimos a alguna versión del psicologismo, se referirá a lógica uten; si no somos cognitivistas, se refiere a la lógica docens. Para cada una de estas tres nociones ahora podemos preguntarnos si la lógica es revisable y, si es, cómo es revisable.

Comenzaremos con la lógica ens. Si asumimos el realismo platónico o estructural sobre la lógica, entonces los hechos lógicos son independientes de nosotros, de cómo realmente razonamos, así como de lo que creemos sobre la lógica. Si eso es así, entonces tampoco podemos revisar estos hechos. Por ejemplo, el calentamiento global es un hecho independiente de la mente, un hecho sobre el mundo, pero que nosotros podemos influir y cambiar. Sin embargo, la forma en que el realismo piensa en los hechos lógicos, serán hechos o hechos muy fundamentales en un reino que está causalmente aislado de nosotros. Si eso es así, no podemos revisar la lógica ens. 

La revisibilidad de la lógica docens, parece prometedora. La lógica cambió considerablemente a lo largo de los siglos. Además, la forma en que cambió no fue acumulativa. Algunos argumentos que se habían considerado válidos desde Aristóteles ahora se consideran inválidos. El proceso por el cual se revisa la lógica docens, ya ha sido descrito anteriormente, cuando describimos la prima facie epistemología. Usamos juicios sobre validez de determinadas inferencias, así como los principios generales como insumo en un proceso de equilibrio reflexivo que se guía aún más por consideraciones generales de elección teórica, como la simplicidad, el poder de unificación, fecundidad. Si la lógica docens se revisa de esta manera, ciertamente se hace racionalmente. Depende de como interpretemos el tema de la lógica, podríamos estar usando datos subóptimos cuando simplemente alimentamos intuiciones y creencias antecedentes en el proceso. Pero esto no hace que el proceso sea irracional.

La previsibilidad de la lógica utens, es un asunto menos sencillo. Algunos filósofos consideran la idea de revisar la lógica por la cual razonamos para ser tan desconcertante que sospechaban que llevaría a una paradoja. ¿No son los principios fundamentales de la lógica las premisas de cada argumento por el que revisamos nuestras creencias? Pero, de ser así, ¿no un argumento que atacó uno o varios de estos principios salió de la extremidad sobre la que descansa el argumento? Tal vez esa preocupación pueda contrarrestarse si los principios lógicos que se producen en la revisión son solo principios que no están sujetos a revisión. 

Pero, ¿cómo debemos cambiar a otra lógica, otra forma de razonamiento? ¿No es esa la idea absurda de que podemos decidir racionalmente cambiar la forma en que pensamos? Este problema se ha debatido en los últimos años como el “problema de adopción”. Saul Kripke lo discutió en seminarios y conferencias en 1970, pero nunca publicó su punto de vista sobre el asunto. Sin embargo, una discusión académica ha evolucionado sobre la base de estas ideas inéditas. Kripke decía que no podemos simplemente adoptar un principio lógico básico y por lo tanto, tampoco podemos adoptar una lógica alternativa. La idea de que los principios de la lógica son convenciones lingüísticas. Kripke parece pensar que el problema simplemente se aplica de la misma manera a la idea de que la lógica podría ser revisada racionalmente. Ya que tiene que ser capaz de razonar de acuerdo con la regla de la creación de instancias universales para saber cómo aplicar la regla. Del mismo modo, en el caso de la convención, para saber observar cualquier convención, ya es necesario saber lo que la convención implica para un caso determinado, pero que, a su vez, ya requiere una lógica.

Entonces, estos argumentos, muestran que no es posible obtener una lógica de la nada simplemente por acordar una convención. La experiencia recalcitrante sugiere que revisar un sistema de observación o la lógica, que nos dice que la declaración de observación está en conflicto con la teoría. Esto debilita la lógica que tenemos. Por lo tanto, el problema parece en el mejor de los casos que ciertos principios lógicos básicos no pueden ser simplemente adoptados, pero eso no se opone a la idea de revisabilidad racional de la lógica porque no refiere en absoluto a la adopción de principios particulares. 

Podríamos estar entrenados en lógica estándar, y así encontrar el razonamiento de esta manera muy natural. Pero podríamos recibir entrenamiento en otra lógica y luego seguir ese entrenamiento si tenemos razones para creer que hacerlo es beneficioso. Al considerar aplicar una lógica a la realidad, nuestra evidencia contra la lógica es a priori. Parece razonable suponer que podría haber razones empíricas para cambiar nuestra lógica, como el caso de la mecánica cuántica. Esto nos conduce al pluralismo lógico.

El pluralismo lógico, es la opinión de que hay más de una lógica correcta o, alternativamente, que hay más de una relación de consecuencia lógica genuina, más de una respuesta correcta a la pregunta de si un argumento dado es válido, o más de una forma correcta de razonamiento. Pero estas caracterizaciones aproximadas son ya una muestra de cuántas versiones diferentes de tesis de pluralismo lógico puede haber, corresponden a las diferencias de formas en que se puede especificar con más cuidado lo que es una lógica, y lo que sería una lógica correcta.

La lógica parece significar una teoría, especialmente una pura. En ese sentido, una lógica es una teoría matemática. Ahora tome esto como correcto, para significar la satisfacción de los estándares de corrección para las teorías matemáticas, digamos, autoconsistencia. Entonces la afirmación de que hay más de una lógica correcta solo significa más de una lógica pura. Decimos, que muchas lógicas no estándar, no son realmente lógicas, sino álgebras. 

Tomamos por lógica a una teoría aplicada canónicamente, es decir, una teoría sobre fenómenos lógicos canónicos: razonamientos correctos en las ciencias o lenguajes ordinarios. Además, los tomamos por ser correctos, que materialmente son adecuados. La consecuencia lógica tiene intuitivamente e informalmente un lenguaje ordinario. Entonces, hay más de una lógica correcta, significa que hay más de una teoría que tiene todas las características relevantes que el razonamiento correcto tiene en el lenguaje ordinario. En fin, hay más de una teoría de una lógica correcta en cuanto a lo que constituye un razonamiento correcto. 

El razonamiento y los principios lógicos

Si bien puede haber diferentes puntos de vista sobre cómo la lógica es normativa para el pensamiento, y si la lógica debe considerarse una teoría del razonamiento, hay al menos la siguiente motivación para pensar que la lógica tiene un papel normativo que desempeña una teoría del razonamiento que debería ser entrenada en la educación moderna.

Supongamos que es uno de los objetivos del razonamiento teórico llegar a una representación precisa del mundo. En otras palabras, estamos interesados en las verdaderas creencias sobre cómo son las cosas. Las creencias tienen contenido propositivo, contenido que se mantendrá en las relaciones lógicas. Puesto que tenemos interés en la verdad de nuestras creencias, como al menos una parte central de nuestro proyecto conectivo general, también debemos tener interés en estas relaciones lógicas, porque claramente serán relevantes. Si tenemos alguna creencia verdadera, entonces su verdad se traslada a sus implicaciones lógicas. Si una creencia nuestra implica una falsedad, entonces tendrá consecuencias en nuestra vida. Estas consideraciones motivan a los principios lógicos:

Principio de implicación lógica. Si las creencias de S implican lógicamente P, entonces, S debería creer que P.

Principio de coherencia lógica. S debe evitar tener creencias lógicamente inconsistentes.

En general, la lógica le indica lo que implica un conjunto de instrucciones. Pero seguir adelante y creer lo que resulta ser implicado por sus otras creencias no es una buena estrategia. Si aprendemos de nuestras creencias que implican algo que es extraño o está en desacuerdo con otras cosas que creemos, deberíamos revisar nuestras otras creencias que implican lo extraño, en lugar de simplemente adoptar una serie de más creencias. El problema es que el principio de implicación lógica señala que requerimos directamente las consecuencias lógicas. Tal vez usted debe actuar de alguna manera al reconocer una implicación, pero parece exigir que la forma correcta de actualizar, en cualquier caso, corresponde a la adición de la implicación a las demás creencias. 

Como sabemos cada declaración se implica a sí misma. Por lo tanto, si nosotros pasamos  a creer que hoy es un día hermoso, entonces, esto implica lógicamente que hoy es un día hermoso, también deberíamos creer que hoy es un día hermoso. Pero esto parece estar mal. No todo lo que crees es tal que debería creerlo. Puesto que hay una infinita posibilidad de consecuencias de nuestras creencias, vislumbrar sobre todas ellas es simplemente imposible. Para muchos es imposible averiguar si realmente satisfacen la implicación. Del mismo modo puede haber incoherencias ocultas en su conjunto de creencias que son imposibles de detectar para usted. 

Lo que conduce a un cambio de razonamiento, es un proceso psicológico y se supone que una teoría del razonamiento es una fórmula de principios o reglas de revisión de los procesos psicológicos pertinentes que deben seguir para contar como racionales. ¿Cómo son esos principios?

Evitar el desorden. Uno no debe llenarse sumamente con trivialidades.

Condición de interés. Uno agrega una nueva proposición P a las creencias de uno, solo si uno está interesado en si P es verdadera y,  de lo contrario es razonable ignorar P.

Interés en el entorno. Uno tiene interés en modificar objetos y eventos del entorno inmediato. 

Interés en el razonamiento teórico. Si uno está interesado en si P es cierto y tiene razones para creer si Q es verdadero se facilita saber si P es cierto, uno tiene razones para estar invirtiendo la vida en si Q es verdadera.

La lógica, por supuesto no formula tales reglas o principios para sobre cómo se supone que uno debe revisar sus creencias. La lógica formula hechos sobre la implicación. Esta observación se mantiene también para caracterizar demostraciones de consecuencias lógicas. Después de todo, observar la reglas, no prescribe el razonamiento que entra en la búsqueda de mejorar nuestras creencias.

La lógica es un cuerpo de verdades como cualquier otra teoría científica, no juega ningún papel especial en mejorar nuestras creencias. Esto solo se puede lograr dentro de una tradición intelectual que desarrolle la creatividad de las ideas, es en el proceso de escritura y lectura donde podemos mejorar nuestras creencias. Debemos distinguir entre las formas de estilo en que los matemáticos razonan de los científicos e ingenieros. El estilo de razonamiento es el sistema por el cual formulamos cambios en nuestras creencias, de manera más simple, si una idea nueva la repetimos una y otra vez, solo logramos memorizarla, pero ella no estará en nuestro arsenal de ideas hasta que pase por un proceso de justificación, explicación, demostración, cálculo, categorización y conceptualización. La educación que fórmula recetas de ideas específicas sin considerar discutir sus fundamentos, solo limita la habilidad intelectual de los estudiantes. 

Revisar nuestras creencias, es el mejor camino para el cambio intelectual de nuestra persona. Las consideraciones lógicas de la revisión, si implican al entrenamiento directo de la teoría lógica. Las consideraciones lógicas son el punto de partida de la evaluación de las evidencias, hechos, datos y puntos de vista. La lógica doxástica y  epistemológica se vuelven esenciales para el proceso de revisión de justificaciones y coherencia de nuestras creencias. Con la primera nos movemos en la lógica semántica de los conceptos y en la segunda en las formas de conocimiento válido. 

La estrategia responde al desafío de aumento de las capacidades lingüísticas del discurso objetivo, y no da por sentado la lógica de su discurso metafísico o ontológico. Como suele pasar, el error estriba en impartir conceptos y contextos, dejando de lado la narrativa discursiva de la experiencia necesaria para su aprendizaje. Eso no significa, sin embargo, que la forma en que el mundo es en realidad, es irrelevante para cómo debería ser su progreso ético. La obligación moral demanda tareas, pero no de naturaleza inhumana. Es decir, la educación del razonamiento intelectual fino, debería ser un proceso cognitivo que no corrompa la biología de su naturaleza en el aprendizaje. 

No es borrar nuestras mentes e instalar nuevas creencias, es apoyarnos en los procesos intelectuales rigurosos de la lógica del estilo científico o poético, de tal manera que revisar nuestras creencias es la pedagogía por excelencia  y no una tarea marginal. Escribir ideas es el instrumento más intenso que exigirá, mayor lógica para lograr coherencia y rigor en nuestras ideas. Leer literatura original, es la mejor manera de apropiación de un estilo de pensamiento. Juntas estas habilidades, la escritura creativa desarrollara las facultades lógicas más profundas, lo trivial suele ser visto como aburrido, cuando nos instalamos en lo profundo, nuestras emociones conspiran para darnos placer y alentarnos en el mundo de la complejidad. Todo proceso intelectual es un espacio de incertidumbre, y la lógica pretende hacerlo tolerable a los fracasos y aciertos.

Evaluar nuestras ideas, es fundamental. Determinar revisar las creencias es una buena labor al iniciarse en la modificación de nuestro estilo de pensamiento. Al final, revisar específicamente nuestras creencias o falta de ellas, es un proceso de formación de lo más honorable para las personas rebeldes de las ideas. 

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