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2. Pensamiento matemático


La conquista tecnológica del espacio exterior, del mar profundo, del polo norte, superar la velocidad del sonido en vehículos terrestres… En estos días, siguen siendo tareas difíciles de lograr, pero definitivamente no son ya imposibles para el hombre. Si disponemos de tiempo, recursos, colaboración, una guía de viaje, los noveles pueden lograrlo también. La exploración de las matemáticas tiene mucho en común con este tipo de conquistas. Nuestra primera mirada en nuestro aprendizaje es la superficie del problema matemático. Después de mucho tiempo de investigación, estos héroes del pensamiento matemático lograron grandes proezas. Reuniendo todas las experiencias desde el paso más humilde; así, se puede esbozar una posible ruta de cada conquista, aunque no esté muy clara la ruta completa en detalle. Sin embargo, si un novel cuenta con una ruta posible en mente, puede iniciar a escalar su desafío, puesto que dispone de información clara para comprender el camino de la experiencia y está guiado por alguna o algunas mentes milagrosas que llegaron primero a la cima de la conquista de las matemáticas. Quizá le de vértigo de alcanzar tan grande cima, es comprensible, pero cuando se acerca poco a poco, tal vez allí, ganará la confianza necesaria para el siguiente paso. Eventualmente tiene a favor que, si confía en la guía literaria que le da el profesor, el camino podrá llegar a ser conquistado por el pensamiento matemático. No se requiere de una mente rápida, sino una mente lenta, dedicada y concentrada.


Una vez que un profesor recorrió el camino completo a la cima, decimos que está en condiciones de poder guiar a otros, de lo contrario, solo los frustrará, lo extraviará y los desanimará en definitiva aunque no lo desee así. Pero, si el aprendiz dispone de acceso a las notas de los hombres que lograron las conquistas y se le apoya con asesoría de alguien que sí lo logró, entonces tal vez pueda seguir sus pasos y reducir la incertidumbre de lograr que sus esfuerzos den fruto. Le podemos asegurar que el primer hombre en conquistar tales desafíos, fue un pionero que al lograrlo, se volvió una experiencia de referencia, incluso un modo de vida de inspiración para las generaciones más jóvenes.


Ahora se cuenta con mucha literatura sobre las rutas de conquista de estos desafíos matemáticos y es probablemente por mucho, nuestro mejor camino. En matemáticas, ingeniería, arte, música y ciencia hay muchas historias románticas de personas haciendo heroicos avances por ellos mismos, solo se apoyaron como dijo Newton, a hombros de gigantes de la literatura que les antecedió.


Las matemáticas son un entrenamiento de la creatividad, la imaginación y el dominio de estándares rigurosos de demostración. Este texto pretende introducirnos a la discusión del conocimiento del pensamiento matemático. Este enfoque pretende apoyar a quien desee dominar  las matemáticas, ayudarlo en su camino de éxito en los estudios futuros de ingeniería y ciencias. Son tiempos difíciles, quizá Usted considere que las matemáticas no son la prioridad para encontrar la luz al final del túnel. Razonar es el medio para resolver nuestra vida, fortalecer la razón tiene consecuencias positivas. Reflexiónelo así, esto puede ser complicado, implica darnos cuenta que el pensamiento es hacernos las preguntas correctas y gestionar perspectivas racionales nuevas. 


Issac Newton se encontró con un muy fuerte respaldo de la comunidad científica de la época. Casi todos los experimentos confirmaban las ecuaciones de Newton. Pero es en el casi, donde, hay oportunidades de éxito. Tratando de entender esto, surge la idea que un razonamiento por un camino inexplorado puede darnos una vida feliz. Las ideas creativas, son pensadas con dos elementos esenciales, las proposiciones y los operadores discursivos en lenguaje natural y artificial. 


Sí estamos en problemas, nos dice a todo esto Albert Einstein:

“Definición de locura: hacer las mismas actividades y esperar resultados distintos.” 


¿El pensamiento matemático nos hace más racionales? 


Abraham Lincoln creía como cierto esto, embarcándose este personaje en la ardua tarea de dominar los tratados de geometría de Euclides para aumentar sus capacidades cognitivas, en particular sus habilidades lingüísticas y lógicas[1]. Esta idea se remonta a Platón, de que las matemáticas fortalecen la mente de manera similar a cómo el ejercicio físico fortalece el cuerpo, ayudándonos a negociar una variedad de desafíos mentales. Vivir bien en el mundo de hoy, es una de las razones populares del porqué todos deberían estudiar matemáticas. Pero seguramente una afirmación más estrecha es cierta: que las matemáticas, tan sistemáticamente construidas como lo están en sus hipótesis deductivas, deben desarrollar el pensamiento lógico. Por "lógico" nos referimos al tipo de pensamiento necesario para resolver cadenas de razón e inferencias de conclusión. 


Nuestra manera de reconocer algo como nuevo frente a nuestra vista, se basa en un juicio instantáneo inicial sobre la similitud con otros objetos, una tendencia que algunos académicos especulan evolucionó en los humanos porque en la mayoría de los contextos del mundo real, la detección rápida de tales similitudes es una buena estrategia para la supervivencia[2]. Curiosamente, sin embargo, resulta que si la regla abstracta del rompecabezas se traduce a términos que son lógicamente equivalentes, pero, se basan en la experiencia del mundo real, podremos descubrir las estructuras matemáticas que gobiernan la arquitectura de la realidad[3].


Un reciente y fascinante libro, "¿El estudio matemático desarrolla el pensamiento lógico?" escrito por los investigadores en educación y cognición Matthew Inglis y Nina Attridge[4]. Llevaron a cabo experimentos, encontraron que los estudiantes que analizan  las matemáticas fueron en su cognición más lentos y más trabajadores, lo que condujo a tasas de éxito significativas en los estudiantes de matemáticas frente a los estudiantes de historia. La lentitud es dada por la enorme carga de cuestionarse "por qué", "cómo", y evaluar la verdad en sus pasos deductivos.


¿Qué hacer, si no me considero bueno en matemáticas?


La matemática escolar vista por un ojo ordinario, no se ve generalmente como pensamiento elegante e interesante para desarrollar la razón. Sospechamos que es debido a que por error el profesor las presentó como categorías de ejercicios repetitivos de un trabajo sin sentido para la vida humana. Si queremos hacer ver al pensamiento matemático como una aventura emocionante para nuestra razón, debemos invocar a la curiosidad para profundizar en el significado de los objetos matemáticos, la verdad matemática, las proposiciones que demuestran soluciones a problemas de este mundo platónico de ideas perfectas.


Generalmente en las matemáticas comenzamos con vértigo y nervios tensos. Quizá es porque en el pasado, de forma inadecuada, lograron crear en nosotros el deseo de escapar de algo que en apariencia no tiene sentido para desarrollar nuestro potencial racional. Pero, deténganse a pensar por un momento: la razón objetiva de las matemáticas es de vital importancia para la construcción de hogares, moléculas  con función fármaco-biológica, ciudades y máquinas, entre muchos elementos más que determinan para nosotros un progreso ético. Tal vez creer qué la falta de talento para el pensamiento matemático es lo que nos condena el fracaso material; creemos que es más importante verlo como potencial racional. De esta manera, partimos de dos proposiciones sesgadas muy arraigadas en la cultura popular.


1) El pensamiento matemático visto como requisito para las carreras científicas, de ingeniería o medicas, es exigido para el éxito profesional y económico de estos perfiles laborales. 


2) La magia del pensamiento matemático no está en mí y la razón no me alcanza para comprender su mundo.


No es un pensamiento mágico y el que no lo dominemos, no quiere decir que tengamos incapacidad racional. Todos podemos comprender y aprender a razonar matemáticamente, si aprendemos con disciplina y sin presión hostil los significados simbólicos proceptuales, justo antes de los deductivos formales[5].


Sin duda, ninguna cantidad de práctica de ejercicios mejora al pensamiento matemático y su sentir de placer y alegría. Pero eso no significa que no exista forma de mejorar esto. Debemos dejar de huir de este desafío en la educación. Comúnmente consideramos que es por falta de valor para salir del fango de la frase “no puedo, porque antes no he podido”. Reflexione, de hecho, la comprensión matemática requiere mucho menos trabajo que aprender una habilidad física para cualquier horizonte laboral de alto desempeño. 


Aunque muchas personas aquí estarán argumentando, para ellas aprender matemáticas fue experimentar procedimientos de enorme fatiga de repetición de ejercicios, pero, un académico auténtico en este campo lo verá totalmente distinto. Debemos y, cualquiera puede partir de lo intuitivo en nosotros (de origen biológico), es decir, de las verdades evidentes (axiomas), en conceptos como el de unidad, espacio, probabilidad, categoría, lógica, que son parte de la biología e imprescindibles esos con los que damos  sentido racional a la realidad[6]. 


Las ideas matemáticas difieren al orden típico escolar. En la escuela tienden a producirse en rodajas horizontales, se aprenden las ideas básicas sobre varios temas, entonces, al ciclo escolar siguiente, se aprende algo un poco más avanzado acerca de estos temas y así sucesivamente. Aunque esto es totalmente razonable. Los enlaces de conocimiento vertical quedan de lado, es importante esto dado que la matemática es una red altamente conectada de ideas sofisticadas, siempre basadas en coherencia en los más básicos axiomas. Mejorar el gusto por el pensamiento matemático, es introducir en el currículo representaciones verticales claras para facilitar el razonamiento objetivo. 


Las matemáticas plantean sin duda un difícil desafío. Para comprender porqué debemos imaginar una comunidad que pretende poseer un conocimiento de cierta disciplina práctica y no desarrollar su poder de razonamiento lógico matemático. Las características de este conocimiento, son en primer lugar a priori, en el sentido de que no confían en la experiencia de lo sensorial. La verdad se logra por reflexión construida por la base axiomática de nuestra especie. En segundo lugar, este conocimiento se refiere a verdades que son necesarias, en el sentido de que las cosas no poseen en su observación racional contradicción[7]: un universo hecho de ecuaciones fundamentales. En tercer lugar, este conocimiento se refiere a objetos que no están situados en el espacio-tiempo y que no participan en relaciones  causales, se dicen que son abstractos. 


Las matemáticas expresadas para representar los hechos, son un conocimiento que afirma poseer algo así como una promesa, de que la realidad es en su totalidad conocible por la razón[8]:


“Para cada proposición P, si P es cierta, entonces hay una explicación suficiente de porqué "P es cierta".  Es para Leibniz este principio de razón suficiente,  todo lo real lo puede conocer la razón, en ella hay una razón suficiente de porqué es así”.


Las matemáticas nos entregan conocimientos sobre la naturaleza última de la realidad y sobre nosotros mismos, basadas solamente en la razón y sin ninguna confianza en la experimentación de los sentidos. Gauss refirió a las matemáticas como la reina de las ciencias que entrega conocimientos verdaderos referidos a objetos abstractos como el número, la probabilidad, la geometría, los conjuntos y cálculos de funciones[9]. 


Las matemáticas son una ciencia extremadamente acertada, tanto dentro de sus propios objetos abstractos, y además, como herramienta para las ciencias empíricas. Mediante la aplicación de métodos matemáticos se aportan grandes recursos de observación racional para hacer avanzar a las ciencias naturales y sociales por caminos que justo antes de aplicarlos parecían imposibles de investigar. Una disciplina tan exitosa como  el pensamiento matemático no la pueden rechazar los aprendices de técnicos o científicos, dado que se reduciría su potencial racional para observar rigurosamente. La matemática impregna de estilos de razonamiento a sus practicantes, de modo que, nuestro mundo tecnológico y científico actual está ampliamente convencido de que las matemáticas causan perplejidades necesarias en la mente, para aceptar que la realidad es muy distinta a sus apariencias superficiales, y no menos importante, para construir con ellas lo sintético en la química, la farmacia y lo biológico. Los grandes pensadores son grandes observadores racionales y las matemáticas representan los muchos estilos con que podemos interrogar a la realidad[10]. 


La mente matemática


Una manera de acercarnos a la lectura que hizo Platón de las matemáticas, es asumir que a partir de un conocimiento innato en nuestra especie, es decir, los axiomas o verdades matemáticas a priori, en otras palabras, tenemos verdades para contar, categorizar, hacer probabilidades y resolver problemas del espacio geométrico, sin necesidad de justificarlas. Esto es lo que se conoce como la facultad de la razón, fuente de conceptos de referencia de la verdad y herramienta para razonar y alcanzar el conocimiento. Platón reconoce la necesidad del hombre de conocer más allá de esta base axiomática. Así que, se crean una gama de abstracciones, pero reales, las ideas matemáticas (teoría matemática). Platón postula a estas ideas matemáticas como problemas confinados a la propia mente, quizá las matemáticas podamos algún día verles como el derecho del hombre a la capacidad mental de razonar lo profundo, y que como efecto, tengamos una sociedad más justa y compasiva: humanismo científico. 


Consideremos cualquier idea sin contradicción lógica, como verdad de las matemáticas puras, por ejemplo, en la aritmética  la operación con números enteros  3+5=8. Dentro de la tradición Platónica esta verdad no es accidental, sino necesaria. Es considerar el papel que juegan las matemáticas para fortalecer nuestra capacidad de razonamiento a partir de los primeros axiomas de unidad, probabilidad, categoría, lógica y espacio geométrico. Las matemáticas son un poderoso instrumento de modelado de todo lo que el mundo puede ser. Las verdades matemáticas puras son necesarias dentro del mundo mental, pero son de gran ayuda para observar el mundo exterior a la mente, ese mundo fáctico que parece obedecer a un diseño matemático. No es extraño que muchos modelos matemáticos sin contradicción no encajen en la realidad material, quizá es que las matemáticas aportan soluciones a mundos posibles, y el mundo físico solo es un caso entre muchos posibles. 


Las verdades lógicas y aritméticas se dice que, se rigen en un dominio más amplio a lo intuitivo de nuestras razones elementales, están presentes en todo lo pensable[11]. Este dominio de todo lo razonable, es importante en respuesta a la necesidad de verdades apelables libremente a todo nuestro conocimiento de la realidad fáctica. Se dice que estas verdades matemáticas están libres de sesgo cognitivo. El sesgo cognitivo se refiere a verdades que fueron corrompidas por las emociones. 


¿Somos un objeto abstracto?


Un rasgo distintivo del pensamiento matemático es que le ocupa el estudio de objetos abstractos. Un objeto se dice que es abstracto, si carece de ubicación espacio-tiempo y es ineficaz en el sentido causal; de lo contrario se dice que es concreto. En las matemáticas se refiere a algunos objetos como número, conjunto, código, función, ecuación y todos los objetos exóticos de la geometría. Todos ellos parecen estar fuera del espacio-tiempo. Sin embargo, el realismo asume que en la realidad, en su diseño están implícitas estructuras matemáticas que gobiernan fundamentalmente lo que son. Es decir, un objeto real o concreto es lo que es porque en el fondo su estructura matemática lo define. Lo abstracto es en todo caso lo que es una estructura matemática en la mente y también dentro de lo concreto como estructura matemática de lo real. Como puede darse cuenta, la afirmación de que los objetos matemáticos son abstractos ha sido menos controvertida. No es difícil ver  el porqué. La comunidad científica cree que el orden que se observa en el diseño del universo es prueba de que los objetos abstractos están en el espacio-tiempo. A veces, conviene considerar a los objetos abstractos como ideas perfectas, es decir, sin contradicción en sus estructuras, y dejar de lado su tipo de existencia. La palabra objeto platónico típicamente se refiere a objetos abstractos que solo existen en la mente. Sin embargo, de esta discusión, podemos por el momento referir la intención de unificar, así que por objeto abstracto matemático se entiende que son tan reales como el propio orden que define a los objetos físicos, químicos y biológicos  en su estructura.


Si bien esta afirmación no es más precisa, sí nos permite dejar de lado conceptos físicos de la discusión matemática, dado que, por descontado afirmamos que están presentes en la realidad fáctica. Estamos considerando a la realidad como algo bastante verosímil, sin embargo, la vemos como una medida de referencia a objetos abstractos a su independencia de los agentes inteligentes y de su lenguaje, pensamiento y práctica.  ¡Si no hubiera vida inteligente, 2+2 aún habría sido 4! Esta reclamación de independencia, también puede ser retirada en términos de un contraste entre descubrimiento e invención. Es la parte de nuestra experiencia de hacer matemáticas puras y aplicadas. Parece que más allá de nuestra matemática moderna, en la propia realidad material hay ocultos en sus estructuras muchos objetos abstractos aún sin descubrir. Y que la propia mente libre, además crea otros objetos abstractos para una infinidad de posibilidades de existencia de universos. 


Así como una página en blanco no crea los límites de lo que en ella se puede crear, los objetos abstractos ocultos en lo fáctico, tampoco lo hacen para nuestra mente. La parte matemática que gobierna las estructuras de una página de papel, no limita que en ella se creen nuevos objetos abstractos o poemas de enorme poder estético.


Pensamiento matemático 


Investigar sobre el pensamiento matemático, es intentar contestar ¿Qué es la matemática? ¿Son realmente los objetos matemáticos abstractos ajenos al espacio-tiempo-vida? Obviamente tenemos que intentar expresar a las matemáticas en sí mismas sobre los números, conjuntos  y en general todo lo que ella estudia. ¿Cómo debemos abordar el lenguaje artificial de las matemáticas? ¿En qué momento la lingüística del español es necesaria para involucrarla en los modos que la matemática la requiere para producir conocimiento objetivo? Debemos comprender cómo la matemática nos ayuda a evitar que las emociones sesguen a la razón, además, intentar contestar ¿cómo se construye el conocimiento matemático a partir de los primeros principios de verdad evidente en nuestra especie, es decir los axiomas?, y ¿cómo se emplean para probar demostraciones matemáticas? ¿Es relevante la psicología y la historia en el aprendizaje de este fascinante mundo platónico?


Puesto que las preguntas que nos hemos planteado son extremadamente difíciles, nos apoyamos en la literatura para intentar una aproximación digna para este desafío. La pregunta de inicio es muy obvia, ¿Qué clase de conocimiento son las matemáticas? 


La idea básica de que las matemáticas son un conocimiento  a priori, es decir, confinado a la mente independiente de la experiencia sensible; es contraria a la idea del conocimiento a posteriori, en otras palabras, conocimiento de lo que existe con independencia lingüística en lo real. El pensamiento matemático es desencadenado por la pregunta sistemática de ¿por qué?, en cada paso esta pregunta motiva al aprendizaje de este conocimiento. Este tipo de conocimiento no olvidemos que tiene como fuente nuestra base biológica axiomática de unidad, categoría, probabilidad, lógica y espacio geométrico. 


Todos los juicios analíticos son a priori, puesto que esta contención conceptual puede establecerse sin cualquier dependencia sustantiva en la experiencia sensorial. Juicios analíticos también se dice que son explicativos, mientras que los que son sintéticos son ampliativos de la verdad matemática. Las sentencias:


El cuerpo biológico de una célula está delimitado por la membrana celular.

El cuerpo biológico es materia química estructurada.


La primer proposición es analítica y la segunda es sintética. Las verdades analíticas se basan en el principio de no contradicción, todas ellas son verdades lógicas que pueden calificar como analíticas. Kant insiste en que el conocimiento matemático no se produce de manera analítica, sino que es sintético por pretender ser verdadero y universal. Es sintético por su consideración de ser proposiciones puras, es decir, sin conexión particular que involucra a conceptos del mundo material. Por ejemplo, para establecer que la línea más corta entre un espacio plano es la recta, es inútil la necesidad de contemplar los conceptos involucrados en esta verdad. En su lugar, es necesario traer la noción de espacio geométrico euclidiano para con la intuición dibujar, tal vez solo en la imaginación la línea más corta entre dos puntos en el plano. Es entonces que podemos percibir que la línea recta es la más corta en su longitud. Para Kant lo central es cómo este conocimiento es sintético a priori, para ello evoca a la vuelta coopernicana que lo encausa como idealismo trascendental. Permítanos explicar un poco. En el concepto pre-Coopérnico del conocimiento, los objetos tienen propiedades independientes de nosotros y nuestras representaciones mentales, deben ajustarse a estos objetos para producir conocimiento. Pero, Kant considera que este concepto es incapaz de acomodar el conocimiento a priori sintético. Puesto que el conocimiento es sintético, se trata de objetos creados desde nuestra base axiomática de origen biológico, entonces estos objetos deben de alguna manera afectarnos en el cómo razonamos el propio conocimiento a posteriori de la ciencia. La solución es realizar un giro cooperniano:


Si la intuición ha de ajustarse a la constitución de los objetos, entonces no se ve cómo podamos saber algo a priori; pero si el objeto… se ajusta a la constitución de nuestra facultad de intuición, entonces podremos muy bien representar a toda su posibilidad para nosotros.


Es decir, tenemos que invertir el orden habitual de conformidad epistémica. Es solo cuando reconocemos que el mundo no está obligado a cumplir con la constitución de nuestra facultad de intuición sobre los objetos materiales, es allí donde seremos capaces de explicar cómo verdades aritméticas y geométricas pueden ser al mismo tiempo sintéticas y a priori. Conveniente o no, este es uno de los más significativos avances en el estudio del pensamiento matemático, después de las disertaciones de Platón. 


En resumen, el pensamiento matemático es sintético a priori. Los teoremas de las matemáticas son a posteriori, dado que todas las verdades analíticas lo son. Quizá este callejón sin salida hace que los pensadores posteriores a Kant abandonen su idea entre lo sintético y lo analítico. La opción es considerar a las verdades matemáticas como cadenas analíticas de proposiciones más complejas que su estructura lógica, dando origen a la lógica modal y doxástica de un discurso objetivo que trasciende a las matemáticas, es decir, lo emplea el español y otros lenguajes naturales para pensar y crear en la ingeniería y la ciencia. Los lógicos, tempranamente, sostuvieron que el pensamiento matemático puede en todas sus verdades sobre los números, reducirse a la lógica y analítica entre los diferentes números. 


Esto significa que el conocimiento matemático es una actividad a priori. Muchos matemáticos formalistas comparan al pensamiento matemático como un juego que parte de verdades evidentes y construyen casos correctos derivados de estas verdades (teoremas). Consideran que la actividad del pensamiento matemático es la de producir y ensayar demostraciones de teoremas formales. Por otra parte, los ficcionistas consideran al pensamiento matemático como una ficción útil, donde la norma de corrección no es la verdad literal, sino la verdad evidente en el contenido de los axiomas. 


Platón consideró a los objetos matemáticos como independientes del mundo material,  la dicotomía mente-material  no resolvió el misterio. Si bien, para los lógicos la aritmética se reduce a la lógica, para los biólogos la intuición matemática está escrita en nuestra genética como verdades innatas, y quizá está extendida a todo el orden que gobierna la realidad material. Pero Frege, combina todas estas posturas, él va más allá, considera que la propia razón humana depende de sus resultados de conocimiento del trasfondo inconsciente enmascarado del pensamiento puro. Es decir, un sujeto logra en su vida desarrollar en su propia experiencia el lenguaje matemático[12]. Así que desde Frege, el fondo de nuestro poder racional es un juego de verdades matemáticas proyectadas a la realidad material, social, estética y psicológica.  


Rigor y formalización


Desde Euclides  hace 300 A.C., los matemáticos han confiado en la solidez del método axiomático. Algunas verdades sobre todo evidentes o fundamentales son identificadas y dadas a la situación como axiomas, es decir, como primeros principios que no es necesario sobre ellos ninguna demostración, al estar libres de apelar su verdad, ellos son los ladrillos primeros para derivar teoremas.  Este método ha demostrado ser un éxito y ahora es una parte esencial de la práctica matemática. A la luz del método axiomático la epistemología de las matemáticas se divide en dos preguntas acerca de nuestro conocimiento de los axiomas y, sobre nuestro derecho al razonamiento deductivo utilizado para derivar los teoremas.  Antes del siglo XIX, los axiomas fueron justificados a menudo simplemente basándose en que son intuitivamente obvios. Esta evidencia intuitiva era una cuestión de una observación geométrica, Bernard Bolzano (1781-1848) publica su prueba puramente analítica del teorema del valor intermedio, ofreciendo un análisis lógico de continuidad, así inauguró el rigor del análisis, traduciendo en definiciones lógicas precisas los conceptos centrales de la continuidad y límite, así como las construcciones del ahora estándar, sistema de números racionales, complejos y reales. El efecto fue una eliminación gradual de la intuición geométrica a favor de métodos analíticos y lógicos abstractos[13]. Esto aseguró una gama mucho mayor de la validez de los sistemas de numeración ya mencionados y los principios matemáticos que los rigen. A su vez, Frege estableció que todo enunciado matemático depende de la cadena de inferencias que está libre de vacíos del “por qué”. Así se inventó el lenguaje formal natural o escritura conceptual modal. En esta forma de pensar se establecen axiomas lógicos precisos (operadores discursivos del español por ejemplo) y reglas de inferencia que nos conducen a otros teoremas ya establecidos[14]. Después del método de Euclides, este método formal es la mayor contribución al lenguaje objetivo y esencial para la ciencia, la ingeniería, el derecho, la filosofía y el desarrollo de contenido objetivo en el discurso académico.

 

Podríamos argumentar que contar y entender un número está en el corazón de las matemáticas, y muchos niños empiezan a saber contar en la escuela. Saber contar requiere una experiencia que incluye reconocer la unidad o mónada dentro de toda realidad, incluyendo la habilidad de ser capaz de categorizar y así clasificar lo que existe. Se requiere aprender la notación de “más o menos” y la capacidad de distinguir entre números pequeños tales como 1,2,3,… y números más grandes de unos 1000 o más dígitos. En la numeración temprana se implica:




Las formas en que los estudiantes demuestran una comprensión de los principios de conteo se describen comúnmente mediante números o marcos de aprendizaje. Un marco de aprendizaje es la descripción de habilidades, entendimiento y conocimiento de la secuencia en que típicamente ocurren los aprendizajes; estos crean una imagen mental de lo que significa avanzar en el conocimiento matemático de algún área de aprendizaje. Así, el marco proporciona una ruta o mapa para supervisar el desarrollo del individuo en el tiempo, el aprendiz desarrolla curiosidad, confianza, creatividad, compromiso, entusiasmo, persistencia, imaginación flexible, siempre y cuando los procesos de contestar todos los por qué en el marco de aprendizaje queden explícitos. 


Hasta aquí, el aprendiz debe haber desarrollado la competencia más básica de las matemáticas:


Competencia 0: contar hacia adelante y hacia atrás, principio cardinal, comparar números, nombres de los números y abstraer al número. Contar de tanto en tanto, decenas y unidades. Además de contar para clasificar algo.



Primeras operaciones con números


En la niñez es fundamental cultivar la idea de que los números hasta 10 pueden ser conceptualizados como unidades en sí mismas, para el establecimiento de 10 como una unidad contable. Dado que, los niños aprenden sobre el número en términos que en parte  los relacionan al todo, esta idea puede ser relacionada como sumas y restas, con los números como unidades compuestas[15]. Del mismo modo, la multiplicación y la división requieren que los estudiantes las conciban dentro de los números como unidades[16]. En la educación elemental se espera que los niños sepan contar hasta 100, ubicar a los números en las rectas numéricas, realizar operaciones simples de suma y multiplicación, utilizando estrategias de conteo y el valor posicional de cada dígito de un numeral. Se relaciona a la suma con unir, y a la resta con separar al resolver problemas simples. 


Dado que, estamos expuestos a una variedad de situaciones que requieren utilizar la suma y resta sobre la propia memoria de trabajo, se alienta a los aprendices a hacer operaciones con estrategias mentales para ayudarles a resolver este tipo de problemas. Por ejemplo, con la propiedad conmutativa podemos en la mente colocar el mayor número y así resolver la operación de suma. La cuenta puede simplificarse sumando de uno en uno al número más grande, esto es poco práctico para números grandes. Algunos niños utilizan por ejemplo para la suma 8 + 4, el punto aplicado sobre 10, es decir, 8+4=12.


Ya en el año dos de primaria, se introduce la multiplicación y la división de grupos de números. Los niños reconocen a la multiplicación como la adición repetida de grupos y arreglos de números. Por ejemplo, 8 x 7= 8+8+8+8+8+8+8= 56. Además, se reconoce la división como la agrupación en conjuntos iguales y así resolver problemas sencillos utilizando estas representaciones. Por ejemplo, 15/6:


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Y


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Empleando el algoritmo de la división, cociente por  residuo entre divisor:


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Resulta muy útil para los niños ver las multiplicaciones básicas como una matriz de unidades cuadráticas, para ello previamente se enseña a calcular el área de un cuadrado de lado 1:


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Competencia 1: Son capaces de realizar multiplicaciones y divisiones y evaluar la tecnología en apoyo para verificar que sus resultados son correctos.


Mediciones


La medición es un aspecto del plan de estudios de las matemáticas elementales que tiene aplicación en la vida cotidiana. Cuando contamos con el conocimiento de número, operaciones de suma y multiplicación, el análisis del proceso de medición hace ganar confianza al estudiante. Son requirentes conceptuales previos al acto de medir. 


Ángulo: es la medida de la cantidad de giro entre dos líneas unidas en un vértice; una figura de dos rayos con un punto final común.


Área: es la cantidad de espacio de una superficie en forma cerrada.


Atributo: es una propiedad o característica de algo.


Capacidad: la medida de cuánto puede almacenar un objeto tridimensional.


Estimación: una aproximación o un juicio sobre los atributos de algo.


Peso: estimación de la masa o cantidad de materia de los objetos, que puede ser percibida al levantar uno de ellos con la mano.


Longitud: distancia de una medida de algo entre extremos.


Materia: cantidad de átomos de los objetos.


Unidades de medida: estándar que puede usarse como referencia a los atributos de algo. 


Conciencia espacial: capacidad para visualizar mentalmente objetos y sus relaciones espaciales.


Temperatura: media del equilibro de la energía libre entre fuentes de calor y fuentes de absorción. Relación frío y calor.


Tiempo: duración de un evento desde su inicio hasta su instante temporal final.


Valor: medida numérica de alguna magnitud de algo.


Magnitud: valor numérico que representa cantidad.


Volumen: cantidad de espacio que ocupa un objeto tridimensional.



Es generalmente aceptado que hay una ruta de aprendizaje del sentido de medición, esa que permite desarrollar eficazmente la medición de algún atributo de las cosas, por ejemplo, longitud, área, volumen y capacidad; ángulo, masa, tiempo, carga, temperatura y dinero o algún otro valor. En seguida se expone cada paso del acto de medir:


1. Se identifica el atributo. La primera y más importante etapa en la secuencia, es identificar la propiedad en la que estamos interesados en conocer sus medidas. Asumimos que  antes de que un niño emplee las matemáticas ya conoce los conceptos relacionados con los atributos. A menudo hay confusión respecto a la longitud en una dimensión, los niños deben reconocer que  la longitud une una dimensión empleando la recta numérica, respecto al área es  apelando al plano cartesiano o sistema de dos dimensiones espaciales; para el volumen es necesario dominar la primera y segunda dimensión, para relacionarlo con la capacidad de un objeto para ocupar un espacio de tres dimensiones. 


2. Comparar y ordenar. Es el ensayo de todo niño en la experiencia de identificar atributos, este proceso de categorización ayuda a consolidar la comprensión de la comparación directa. ¿Qué es más alto? ¿Qué libro tiene más páginas? ¿Cuál piedra pesa más? ¿Cuál es más lento? ¿Dentro de cuál cabe más agua? Estos métodos directos identifican los atributos más inmediatos a lo evidente, al introducir unidades de medida se amplía el rigor de estas comparaciones y se hacen más complejas las diferentes categorías que podemos nombrar del mundo. Sin embargo, los niños realizan sus ensayos de categorización con unidades informales, estas son esenciales para desarrollar el concepto de medición y reconocer la necesidad de unidades estándar. De esta manera, se hace evidente la necesidad de unidades de longitud, área, volumen, tiempo, masa, temperatura. Algo muy relevante, es darse cuenta que podemos medir un mismo objeto con muchas unidades distintas. 


3. Aplicar unidades estándar. Después de vivir la experiencia de unidades no estándar y entendiendo el principio de comparación con su relación al acto de medir, entonces podemos introducir los problemas asociados a la no formalización de las referencias de unidades, tales como la improductividad en la colaboración humana. El uso graduado de instrumentos, es aquí donde debe enseñarse como escalas de longitud, tiempo, peso, temperatura, área y volumen permiten una medición en la que los números representan un intento de aproximación a lo real.. 


4. Aplicación de fórmulas. Es el primer paso para realizar cálculos de medida de área, volumen, perímetros y reglas de equivalencias entre unidades compatibles. 



Esta secuencia de medición de cuatro pasos se emplea para desarrollar una conciencia y el conocimiento de los atributos objetivos, es decir, los compartidos como verdaderos por nuestra especie. 


La longitud es un existencial del espacio, la medida de algo entre extremos y es quizá el primer atributo de la existencia de dimensiones espaciales en los niños, se medirán longitudes rectas, en perímetros curvos de planos. El primer concepto bidimensional es el del área de un cuadrado, esta experiencia anima al niño a investigar las superficies disponibles en su contexto y comparar dimensiones calculando cuántos cuadrados con un cm de lado caben en ellas. De esta manera, se logra observar la necesidad de fórmulas más precisas para calcular áreas como atributos en las actividades de medición. Es ahora el turno de saltar a lo tridimensional, así volumen y capacidad que ocupa un objeto en el espacio es introducido como un atributo de todo lo que existe en este universo. La experiencia de capacidad, es referida a unidad de litro y cuántos de estos caben en diferentes objetos, para solo más tarde reconocer la necesidad de fórmulas más precisas para cálculos de volumen. Pero hay otro ingrediente en el espacio, es cuando se reconoce el ángulo como la longitud de abertura entre dos líneas unidas en relación a un círculo graduado en grados. El atributo de ángulo es necesario introducirlo cuando se expone que en el espacio hay atributos de simetría en mucho de lo que nos rodea. Al explorar los conceptos de ángulo reconocemos que es un patrón que determina por mucho los atributos de las formas que nos rodean. 


En un salto al mundo de la física, el niño de manera innata distingue que las cosas tienen diferentes pesos. Es el momento de introducir el atributo de masa, como cantidad de materia contenida en las diferentes sustancias sólidas, líquidas y gaseosas. Al medir el atributo peso se sientan las bases del concepto de gravedad y se compara peso con volumen. Las escalas de referencia de peso, gramos, kilogramos, le permiten a la imaginación de los niños reconocer que la realidad de volumen no coincide con la de peso. El primer atributo físico que un niño reconoce, sin embargo, no es el de masa, sino el de tiempo. Su cerebro tiene un acumulador a partir de que registra el paso del tiempo. Los diferentes eventos los categoriza en presente, pasado y futuro, cuando cuenta hacia el futuro la recta numérica avanza en el sentido de números enteros positivos, caso contrario cuando cuenta hacía el pasado, avanza en sentido a la izquierda con números negativos, de este modo el cero es referido como el presente. El siguiente paso es reconocer la necesidad de una escala para medir los eventos temporales, es aquí donde se aprenden las escalas de tiempo: segundo, minuto, hora, día, semana, mes, año, década, siglo. Otro atributo evidente es el calor de las cosas, como frías, templadas o calientes, se explica que la temperatura es la cantidad de movimiento interno de la materia y que hay objetos que emiten y otros que absorben este tipo de energía, un tipo de luz infrarroja. Sin más, se desarrolla la medición de este atributo introduciendo el concepto de termómetro y escalas de temperatura. 


Pasando de los atributos espaciales, la categorización geométrica y los atributos físicos de masa, tiempo y temperatura, un atributo social que de inmediato se le presenta al niño, es el valor monetario de las cosas y servicios. El dinero es la unidad para el atributo de valor y costo de algo. Es necesario introducir el concepto de divisas y sus fracciones para realizar la experiencia de calcular valor y costo. 


Medir es estimar sobre la vida cotidiana, las magnitudes de atributos espaciales, físicos y monetarios. Pero lograr medidas exactas, es reconocido por el estudiante como una ventaja para hacer eficiente la convivencia humana. El niño para valorar la habilidad de medir, debe estar convencido de que estimar el valor es algo útil, relacionado con el modo de vivir el tiempo y los atributos más relevantes para estimar referencias personales que puedan ser entendidas con precisión por otros. La estimación es un proceso en el que se hacen presentes las ideas de instrumento de medición y método de cálculo[17].


Competencia 2:  Medir, es la habilidad para estimar la conciencia espacial, física, monetaria y representar situaciones de experiencias sobre magnitudes estandarizadas en unidades de los atributos presentes en la realidad. Se leen escalas, se interpreta la naturaleza de los atributos y se calcula su estimación. 


Propiedades geométricas del espacio


Bisectar: dividir en dos partes iguales.

Figuras congruentes: que son exactamente del mismo tamaño y forma. 

Disectar: dividir en dos partes.

Borde: el intervalo donde se encuentran dos caras de un sólido.

Cara: una vista de la superficie de un poliedro.

Proyección isométrica: una vista de la esquina de un objeto.

Conciencia espacial: la habilidad de ser consciente de uno mismo en el espacio y sus dimensiones. Implica organizar el conocimiento de los objetos espaciales en relación con nosotros mismos en el espacio, determinado por medidas de longitud para cada dimensión. Además, debemos comprender la relación de estos objetos espaciales cuando cambian de posición respecto a un origen de referencia para un observador. 

Objeto tridimensional (3D): se requieren para definir dicho objeto tres dimensiones y tres coordenadas para especificar un punto. Posee volumen. 

Transformación: cambio o modificación de forma espacial, por giros, desplazamientos, cambios de escala o ángulos. Posee área.

Objeto bidimensional (2D): se requieren de dos dimensiones, es una superficie plana sin profundidad, que requiere dos coordenadas para especificar un punto.

Objeto unidimensional (1D): se requiere una dimensión, tiene la propiedad de la longitud.

Vértice: lugar donde convergen planos y líneas para  formar esquinas. 

Visualización: imagen mental que hemos asimilado como propiedad percibida de objetos espaciales. 


En la educación elemental, al niño se le enseña a hacer cálculos de longitudes en una sola dimensión, dentro de una recta numérica. El siguiente desafío, es trabajar con figuras 2D en el plano cartesiano y calcular áreas. Y finalmente, se realizan análisis de propiedades espaciales en 3D y cálculos de volumen y capacidad. Así, la conciencia reconoce a la geometría como la exploración del espacio, se trata de atributos de forma y tamaño dimensional, por ejemplo, en las proteínas sus funciones biológicas no están en su proteoma, sino es su configuración geométrica espacial. 


El primer paso, en el conocimiento geométrico es reconocer las 1D, 2D y 3D explorando a través de reconocer, descubrir, comparar, construir y desarrollar argumentos geométricos. Es en resumen realizar una visualización, una percepción de forma y cambios de propiedad en los conceptos presentes en el espacio. En este punto, el niño aprende reconocer la línea recta, el cuadrado, el círculo, el triángulo, las esferas y los cubos. Sin embargo, no solo como una lista de objetos, sino que incluye formas de interés para estudiar sus propiedades. Aquí el conocimiento es jerárquico, un estudiante no puede comprender sin entender el nivel anterior dimensional. Es común por ello que se aprenda en este orden 1D, 2D y 3D. Para ello, se generan experiencias de investigación, exploración y discusión de definiciones. Es decir, cada nivel contiene su propio lenguaje y alguno que es común a los otros planos dimensionales. El movimiento de conciencia de un nivel a otro de aprendizaje no es un proceso simple, ocurre una crisis de percepción del espacio y sus propiedades. Por ejemplo, se estudia primero el espacio de funciones escolares, luego vectoriales y finamente tensoriales. Los elementos del proceso elemental de aprendizaje más clásico son:




Referencias


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[17] Carroll, S. (2019). Something Deeply Hidden: Quantum Worlds and the Emergence of Spacetime. Oneworld Publications.