El Álgebra

Para aprovechar el poder del álgebra, necesitamos un sistema numérico que satisfaga sus demandas. Parte de esas demandas es la libertad de realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas con símbolos arbitrarios para números desconocidos particulares. Los números que surgen a través del conteo 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10..., son conocidos como números naturales, porque emergen más o menos de manera innata comenzando a contar las cosas desde la unidad. Este conjunto de números naturales N, se cierra bajo las operaciones de suma y multiplicación, podemos sumar dos números o multiplicarlos y el resultado siempre será un número natural. La resta, sin embargo, es un asunto diferente. La resta siendo la eliminación de un número de otro, es una operación inversa a la suma. Cuando el primer número en la operación es más pequeño que el segundo que se resta, nos expulsa de los N, por ejemplo, 5 - 15. Cuando surge este tipo de dificultad, nos damos cuenta de que este tipo de números es inadecuado y debe ampliarse para permitir la continuidad de los cálculos en un álgebra.

El modelo estándar de número que impregna todas las matemáticas e ingeniería avanzada es el campo de los llamados números complejos C. El camino desde los naturales hasta los complejos fue largo y concluyó más o menos en el siglo XIX. Pero justo después de los N, el cero como número hace su aparición, los enteros Z negativos y positivos dan paso a los racionales Q, dado que un n entero es dado por n/1. Entonces aparecen los números primos, y con estos el teorema fundamental de la aritmética que dice, la factorización prima de cualquier número natural n (con factores primos escritos en orden ascendente) es única. Esta singularidad se puede deducir de una propiedad aún más básica de los números, Euclides, dice que si un número primo p divide a un producto ab, de modo que p-ab, entonces p es un factor de a o un factor de b (o tal vez un factor de ambos). Las propiedades de los enteros y de otros números reales nos permiten crear la idea fundamental algebraica para la división el máximo común divisor.

De esta manera tropezamos con un mundo de propiedades de las que deducimos lo que podemos hacer y no con los números, y sus representaciones como símbolos dentro de las mismas reglas aritméticas exportadas al álgebra arábiga. El álgebra no es una caja de trucos para encontrar el valor de incógnitas nada más. Sino más precisamente un camino alternativo a las verdades geométricas. La notación moderna algebraica es un importante recurso para realizar cálculos más amplios en la geometría.

De las operaciones inversas a las potencias de una base particular, deducimos a los logaritmos que se convirtieron en la base de los cálculos más complejos en el siglo XVII. Y es el teorema Binomial el punto de partida algebraico para desarrollar los logaritmos y al número de Euler e.

El poder algebraico proviene de la manipulación simbólica de una manera válida para todos los sistemas de ecuaciones sin importar qué número se sustituya por los símbolos. Sin embargo, cuando dividimos una expresión algebraica debemos tener cuidado de no hacerlo sobre cero, dado que al representar una incoherencia matemática, no está definida.